如何证明概率在NP中并且它是NP完全的

Question

最长路径

对于E中的每个e，我们有一个图G =（V，E），长度为l（e）的Z ^（+），正整数K和V中的两个节点s，t。

问题是G中是否有一条简单的路径，从s到t的长度至少为K？

• 显示问题最长路径属于NP。
• 显示问题最长路径是NP完全的，减少哈密顿路径。
• 如果图表是有针对性的并且非循环，那么问题可以在时间O（| V | + | E |）中解决。

你能否给我一个暗示我们如何证明问题属于NP？ 另外，为了表明后者是NP完全的，我们怎样才能将问题减少到另一个？

修改：

因此，为了表明问题属于NP，我们是否必须绘制一个简单的并计算边长的总和？

我们是否举例说明以下内容？

我们看到从节点s到节点t的路径长度等于l（（s，w））+ l（（w，t））= 3 + 12 = 15，所以没有G中从s到t的简单路径至少为K.

或者它足以满足以下要求吗？

“给定一条简单的路径，我们可以很容易地检查它的长度是否至少为K（通过简单地计算其中所有边的长度之和）。因此，它在NP中。”

编辑2 ：你还能解释一下为什么我们通过将所有边的长度设置为等于1来设置K = | V |来在多项式时间内将汉密尔顿路径问题减少到这个问题。 - 1？

编辑3 ：假设我们遇到问题A和问题B，并且已知B是NP完全的。如果我们想表明A也是NP完全的，那么我们是否以这种方式更改A的数据，以便我们遇到与问题B相同的问题，因此我们推断出A也是NP完全的？或者我明白错了？

编辑4 ：另外我们如何证明如果图形是有向的和非循环的，那么问题可以及时解决O（| V | + | E |）？

编辑5 ：汉密尔顿路径的所有边长都等于1，对吧？如果我们有V个顶点，那么最长路径的长度是V-1，是吗？但在我们的问题中，边缘的长度不是特定的，K也不是固定的数字。因此，如果我们将所有边的长度设置为等于1并设置K = | V | - 1，难道我们不把问题减少到汉密尔顿路径问题吗？或者我明白了吗？

Answer 1

1. 为了证明NP中存在问题，我们需要证明它可以在多项式时间内验证。给定一个证书（在这种情况下是一个简单的路径），我们可以很容易地检查它的长度是否至少为K（通过简单地计算其中所有边的长度之和）。因此，它在NP。

2. 从A减少到B意味着：给定A的实例，创建B的实例（更准确地说，我们对这里的多项式时间减少感兴趣）并解决它以解决原始问题。那么如何在多项式时间内将哈密顿路径问题减少到这个问题呢？它非常简单：我们可以将所有边的长度设置为1并设置K = |V| - 1。然后我们应该尝试图(s, t), s != t中的所有顶点对，如果此问题的解决方案对于至少一对返回true，则返回true。否则，我们应该返回false（检查我们在图形中有一个长度为|V| - 1的路径，其中所有边的单位长度与通过其定义检查哈密顿路径存在完全相同）。