Question

我一直在阅读有关使用矩阵转换Vector3的一些阅读，并且正在努力深入研究数学和编码本身而不是使用现有代码。无论出于何种原因，我的学校课程从未包含过矩阵，所以我填补了我的知识空白。值得庆幸的是，我认为我只需要一些简单的事情。

上下文是我正在为RoboCup 3D league编程机器人。我在C＃编码，但它必须在Mono上运行。理想情况下，我不会使用任何现有的图形库（WinForms / WPF / XNA），因为我真正需要的只是一个整齐的矩阵变换子集。

具体来说，我需要平移和x / y / z旋转，以及将多个变换组合成单个矩阵的方法。然后，这将应用于我自己的Vector3类型，以生成已转换的Vector3。

我已经阅读了不同的建议。例如，some使用4x3矩阵建模转换，others使用4x4矩阵。

此外，一些例子表明你需要向量矩阵的第四个值。当该值包含在输出中时，该值会发生什么？

            [1 0 0 0]
[x y z 1] * [0 1 0 0] = [a b c d]
            [0 0 1 0]
            [2 4 6 1]

我缺少的部分是：

我的矩阵应该是什么尺寸
通过将转换矩阵相乘来合成转换
使用生成的矩阵转换3D矢量

由于我大多只想让它运行，任何伪代码都会很棒。有关哪些矩阵值执行哪些转换的信息在很多页面上都有明确定义，因此除非您非常热衷，否则无需在此讨论：）

Answer 1

3 x 3矩阵可以编码转换，例如旋转和反射，但不能转换。为此，您需要添加第四个元素，并以homogenous coordinates表示您的向量。可以将非方形矩阵用于某些目的，但如果您希望能够以任何顺序组合它们，它们应该是正方形的（因为如果第一个中的列数等于，则只能乘以两个矩阵）第二个中的行数。

因此，为了您的目的，您应该使用4x4矩阵和4元素同质向量，添加值为1的第四个 w 坐标。

将变换应用于一堆向量只是乘法的问题。

传统上，向量表示为columns，矩阵位于左侧。您在上面将它们表示为rows并在右侧相乘。两者都有效，但转换矩阵需要在两种情况之间进行转换。您显示的矩阵在底部具有平移值，这对于您的乘法顺序是正确的。

转换矢量后，需要通过 w 坐标进行划分，将 x，y 和 z 缩放回常规3维空间。

在C-ish伪代码中，使用行向量约定：

Vector transform (Vector v, Matrix m)
{
    Vector result;
    for ( int i = 0; i < 4; ++i )
       result[i] = v[0] * m[0][i] + v[1] * m[1][i] + v[2] + m[2][i] + v[3] * m[3][i];
    result[0] = result[0]/result[3];
    result[1] = result[1]/result[3];
    result[2] = result[2]/result[3];
    return result;
}

可以通过依次将每个矩阵相乘来组成一系列变换。请注意，矩阵乘法不可交换，因此乘法的顺序很重要。反过来，这意味着您是将左侧的行向量乘以右侧的列也很重要。如果乘以 A x B x C ，则使用与执行转换 C 相同的列向量，然后 B ，最后 A 。对于行向量，首先是 A ，然后是 B ，然后是 C 。因此，在构建，编写和应用转换时保持一致性非常重要。

同样，在伪代码中应该与上面的transform一致：

Matrix compose (Matrix first, Matrix second)
{
    Matrix result;
    for ( int i = 0; i < 4; ++i )
        for ( int j = 0; j < 4; ++j )
            result[i][j] = first[i][0] * second[0][j]
                           + first[i][1] * second[1][j]
                           + first[i][2] * second[2][j]
                           + first[i][3] * second[3][j];
    return result;
}

用矩阵变换3D矢量的方法

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