关于图G的Bellman-Ford和一些事实？

Question

我们知道bellman-ford算法检查每个步骤中的所有边缘，如果是，则检查每个边缘

  

d（v）的＆GT; d（U）+ W（U，V）

然后d（v）被更新，使得w（u，v）是边（u，v）的权重，d（u）是顶点u的最佳寻找路径的长度。如果在一步中我们没有顶点更新，则算法终止。假设这个算法，用于在s迭代完成后找到图G中具有n顶点的顶点k<n的所有最短路径，以下哪项是正确的？

  

1）来自s的所有最短路径中的边数最多为k-1

     

2）来自s的所有最短路径的权重最多为k-1

     

3）图表没有负循环。

我确定其中一个是真的，但我的TA说其中两个是正确的。对这些问题的任何想法或暗示？

Answer 1

让我们一次查看一个语句：

  

1）来自s的所有最短路径中的边数最多为k-1

考虑以下图表：

s ---e1---> n1 ---e2---> n2 ---e3---> n3

如果边缘按给定的顺序排序（e1, e2, e3），那么在第一次迭代后，每个节点都会有正确的距离（检查e1更新n1，然后检查{{ 1}}更新e2等等。所以在这种情况下，算法在n2次迭代后停止，因为第二次迭代不会改变任何东西。最长最短路径中的边数为k=2且3不成立。因此，这种说法是错误的。但是，如果同时评估所有边，则该语句是正确的（每次迭代只能比前一次迭代更远一个边缘）。

  

2）来自3 <= 2-1的所有最短路径的权重最多为s

边缘数量及其总重量均不受k-1的限制。请考虑上例中的所有边都有权重1000.显然没有k-1的连接。

  

3）图表没有负循环。

如果您按照所做的那样定义算法（在没有进行任何更改时终止），那么这是正确的。任何负循环都会导致无限循环，因为此循环中顶点的距离会相继减小。