DSP - 通过FFT在频域中进行滤波

Question

我一直在使用FFT的Exocortex实现，但我遇到了一些问题。

每当我在调用iFFT之前修改频率分档的幅度时，结果信号包含一些咔嗒声和砰砰声，特别是当信号中存在低频时（如鼓或低音）。但是，如果我用相同的因子衰减所有箱子，就不会发生这种情况。

让我举一个4样本FFT输出缓冲器的例子：

// Bin 0 (DC)
FFTOut[0] = 0.0000610351563
FFTOut[1] = 0.0

// Bin 1
FFTOut[2] = 0.000331878662
FFTOut[3] = 0.000629425049

// Bin 2
FFTOut[4] = -0.0000381469727
FFTOut[5] =  0.0

// Bin 3, this is the first and only negative frequency bin.
FFTOut[6] =  0.000331878662
FFTOut[7] = -0.000629425049

输出由成对的浮点数组成，每个浮点数代表单个bin的实部和虚部。因此，bin 0（数组索引0,1）将代表DC频率的实部和虚部。正如你所看到的，第1和第3个箱子都有相同的值（除了Im部分的符号），所以我猜bin 3是第一个负频率，最后索引（4,5）将是最后的正值频率箱。

然后为了衰减频率仓1，这就是我所做的：

// Attenuate the 'positive' bin
FFTOut[2] *= 0.5;
FFTOut[3] *= 0.5;

// Attenuate its corresponding negative bin.
FFTOut[6] *= 0.5;
FFTOut[7] *= 0.5;

对于实际测试，我使用的是1024长度的FFT，并且我总是提供所有样本，因此不需要0填充。

// Attenuate
var halfSize = fftWindowLength / 2;
float leftFreq = 0f;
float rightFreq = 22050f; 
for( var c = 1; c < halfSize; c++ )
{
    var freq = c * (44100d / halfSize);

    // Calc. positive and negative frequency indexes.
    var k = c * 2;
    var nk = (fftWindowLength - c) * 2;

    // This kind of attenuation corresponds to a high-pass filter.
    // The attenuation at the transition band is linearly applied, could
    // this be the cause of the distortion of low frequencies?
    var attn = (freq < leftFreq) ? 
                    0 : 
                    (freq < rightFreq) ? 
                        ((freq - leftFreq) / (rightFreq - leftFreq)) :
                        1;

    // Attenuate positive and negative bins.
    mFFTOut[ k ] *= (float)attn;
    mFFTOut[ k + 1 ] *= (float)attn;
    mFFTOut[ nk ] *= (float)attn;
    mFFTOut[ nk + 1 ] *= (float)attn;
}

显然我做错了什么但是弄不清楚是什么。

我不想使用FFT输出作为生成一组FIR系数的方法，因为我正在尝试实现一个非常基本的动态均衡器。

在频域中过滤的正确方法是什么？我错过了什么？

此外，是否真的需要衰减负频率？我已经看到了一个带有neg的FFT实现。频率值在合成之前归零。

提前致谢。

Answer 1

有两个问题：使用FFT的方式和特定的过滤器。

传统上，过滤在时域中实现为卷积。你输入和滤波器信号的频谱相乘是正确的。但是，当您使用离散傅立叶变换（DFT）（使用快速傅立叶变换算法实现速度）时，实际上会计算真实频谱的采样版本。这有很多含义，但与滤波最相关的一个含义是时域信号是周期性的。

这是一个例子。考虑在周期中具有1.5个周期的正弦输入信号x和简单的低通滤波器h。在Matlab / Octave语法中：

N = 1024;
n = (1:N)'-1; %'# define the time index
x = sin(2*pi*1.5*n/N); %# input with 1.5 cycles per 1024 points
h = hanning(129) .* sinc(0.25*(-64:1:64)'); %'# windowed sinc LPF, Fc = pi/4
h = [h./sum(h)]; %# normalize DC gain

y = ifft(fft(x) .* fft(h,N)); %# inverse FT of product of sampled spectra
y = real(y); %# due to numerical error, y has a tiny imaginary part
%# Depending on your FT/IFT implementation, might have to scale by N or 1/N here
plot(y);

这是图表：

区块开头的故障并不是我们所期望的。但如果你考虑fft(x)，这是有道理的。离散傅立叶变换假设信号在变换块内是周期性的。就DFT而言，我们要求改变一个时期：

当使用DFT进行过滤时，这会导致第一个重要的考虑因素：您实际上是在实现circular convolution，而不是线性卷积。因此，当您考虑数学时，第一个图中的“故障”并不是一个真正的故障。那么问题就变成了：有没有办法解决周期问题？答案是肯定的：使用overlap-save processing。基本上，您如上所述计算N长产品，但仅保留N / 2点。

Nproc = 512;
xproc = zeros(2*Nproc,1); %# initialize temp buffer
idx = 1:Nproc; %# initialize half-buffer index
ycorrect = zeros(2*Nproc,1); %# initialize destination
for ctr = 1:(length(x)/Nproc) %# iterate over x 512 points at a time
    xproc(1:Nproc) = xproc((Nproc+1):end); %# shift 2nd half of last iteration to 1st half of this iteration
    xproc((Nproc+1):end) = x(idx); %# fill 2nd half of this iteration with new data
    yproc = ifft(fft(xproc) .* fft(h,2*Nproc)); %# calculate new buffer
    ycorrect(idx) = real(yproc((Nproc+1):end)); %# keep 2nd half of new buffer
    idx = idx + Nproc; %# step half-buffer index
end

这是ycorrect的图表：

这张照片很有意义 - 我们期望从滤波器启动瞬态，然后结果稳定到稳态正弦响应。请注意，现在x可以任意长。限制为Nproc > 2*min(length(x),length(h))。

现在进入第二个问题：特定的过滤器。在循环中，您创建一个过滤器，其频谱基本上为H = [0 (1:511)/512 1 (511:-1:1)/512]';如果您执行hraw = real(ifft(H)); plot(hraw)，则会得到：

很难看到，但是在图的最左边有一堆非零点，然后在最右边有一堆非零点。使用Octave的内置freqz函数来查看我们看到的频率响应（通过执行freqz(hraw)）：

幅度响应从高通包络到零有很多波纹。同样，DFT中固有的周期性也起作用。就DFT而言，hraw一遍又一遍地重复。但如果您使用hraw的一个句点，如freqz那样，则其频谱与周期版本的频谱完全不同。

所以让我们定义一个新信号：hrot = [hraw(513:end) ; hraw(1:512)];我们只需旋转原始DFT输出，使其在块内连续。现在让我们看看使用freqz(hrot)的频率响应：

好多了。所需的信封就在那里，没有所有的涟漪。当然，实现并不是那么简单，你必须完全复杂乘以fft(hrot)，而不是仅仅缩放每个复杂的bin，但至少你会得到正确的答案。

请注意，对于速度，您通常会预先计算填充h的DFT，我将其单独留在循环中以便更容易与原始数据进行比较。

Answer 2

您的主要问题是频率在短时间间隔内定义不明确。对于低频率尤其如此，这就是为什么你注意到那里最常见的问题。

因此，当您从声道中取出非常短的片段，然后对其进行滤波时，滤波的片段不会以产生连续波形的方式进行滤波，并且您会听到片段之间的跳跃，这就是生成点击此处。

例如，取一些合理的数字：我开始时的波形为27.5 Hz（钢琴上的A0），数字化为44100 Hz，它看起来像这样（红色部分为1024个样本长）：

alt text http://i48.tinypic.com/zim802.png

首先，我们将从40Hz的低通开始。因此，由于原始频率低于40Hz，具有40Hz截止频率的低通滤波器实际上不会产生任何影响，我们将获得几乎与输入完全匹配的输出。对？ 错误，错误，错误 - 这基本上是您问题的核心。问题是，对于短截面，27.5 Hz的想法没有明确定义，并且在DFT中无法很好地表示。

通过查看下图中的DFT，可以看出27.5 Hz在短段中没有特别意义。请注意，虽然较长段的DFT（黑点）在27.5 Hz处显示峰值，但较短的点（红点）不会。

alt text http://i50.tinypic.com/14w6luw.png

显然，然后过滤低于40Hz，将捕获直流偏移，40Hz低通滤波器的结果显示为绿色。

alt text http://i48.tinypic.com/2vao21w.png

蓝色曲线（以200 Hz截止频率拍摄）开始更好地匹配。但请注意，不是低频使其匹配良好，而是包含高频。直到我们在短段中包含可能的每个频率，高达22KHz，我们才能最终得到原始正弦波的良好表示。

所有这一切的原因是27.5 Hz正弦波的一小部分不一个27.5 Hz的正弦波，它的DFT与27.5 Hz没有太大关系。< / p>

Answer 3

您是否将DC频率样本的值衰减为零？在您的示例中，您似乎根本没有衰减它。由于您要实现高通滤波器，因此您还需要将DC值设置为零。

这可以解释低频失真。如果DC值因非常大的过渡而非零，那么在低频时频率响应会产生很大的纹波。

以下是MATLAB / Octave中的一个示例，用于演示可能发生的情况：

N = 32;
os = 4;
Fs = 1000;
X = [ones(1,4) linspace(1,0,8) zeros(1,3) 1 zeros(1,4) linspace(0,1,8) ones(1,4)];
x = ifftshift(ifft(X));
Xos = fft(x, N*os);
f1 = linspace(-Fs/2, Fs/2-Fs/N, N);
f2 = linspace(-Fs/2, Fs/2-Fs/(N*os), N*os);

hold off;
plot(f2, abs(Xos), '-o');
hold on;
grid on;
plot(f1, abs(X), '-ro');
hold off;
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Magnitude');

frequency response http://www.freeimagehosting.net/uploads/e10109e535.png

请注意，在我的代码中，我创建了一个DC值非零的示例，然后是一个突然变为零，然后是一个斜坡上升。然后，我将IFFT转换为时域。然后我在该时域信号上执行零填充fft（当你传入比输入信号更大的fft时由MATLAB自动完成）。时域中的零填充导致频域中的内插。使用它，我们可以看到过滤器如何在过滤器样本之间做出响应。

要记住的最重要的事情之一是，即使您通过衰减DFT的输出设置给定频率的滤波器响应值，这也不保证采样点之间发生的频率。这意味着您的更改越突然，样本之间的过冲和振荡就越多。

现在回答您关于如何进行此过滤的问题。有许多方法，但最容易实现和理解的方法之一是窗口设计方法。您当前设计的问题是过渡宽度很大。大多数情况下，您需要尽可能快的转换，尽可能少的纹波。

在下一个代码中，我将创建一个理想的过滤器并显示响应：

N = 32;
os = 4;
Fs = 1000;
X = [ones(1,8) zeros(1,16) ones(1,8)];
x = ifftshift(ifft(X));
Xos = fft(x, N*os);
f1 = linspace(-Fs/2, Fs/2-Fs/N, N);
f2 = linspace(-Fs/2, Fs/2-Fs/(N*os), N*os);

hold off;
plot(f2, abs(Xos), '-o');
hold on;
grid on;
plot(f1, abs(X), '-ro');
hold off;
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Magnitude'); 

frequency response http://www.freeimagehosting.net/uploads/c86f5f1700.png

请注意，突然变化会引起很多振荡。

FFT或离散傅立叶变换是傅立叶变换的采样版本。傅立叶变换应用于连续范围-infinity到无穷大的信号，而DFT应用于有限数量的样本。当使用DFT时，这实际上导致时域中的方形窗口（截断），因为我们仅处理有限数量的样本。不幸的是，方波的DFT是一个sinc型函数（sin（x）/ x）。

过滤器中出现急剧转换的问题（在一个样本中从0快速跳转到1）是因为它在时域中有很长的响应，它被方形窗口截断。因此，为了帮助最小化此问题，我们可以将时域信号乘以更渐进的窗口。如果我们通过添加以下行来增加汉宁窗口：

x = x .* hanning(1,N).';

参加IFFT后，我们得到了这样的答复：

frequency response http://www.freeimagehosting.net/uploads/944da9dd93.png

所以我建议尝试实现窗口设计方法，因为它非常简单（有更好的方法，但它们变得更复杂）。由于您正在实现均衡器，我假设您希望能够动态更改衰减，因此我建议在参数发生变化时在频域中计算和存储滤波器，然后您就可以应用它通过获取输入缓冲区的fft，乘以频域滤波器样本，然后执行ifft以返回到时域，来输入每个输入音频缓冲区。这比您为每个样本所做的所有分支都要高效得多。

Answer 4

首先，关于规范化：这是一个已知（非）问题。 DFT / IDFT在每一个中需要一个因子 1 / sqrt（N）（除了标准余弦/正弦因子）（直接反向），使它们成为同步且真正可逆的。另一种可能性是将它们中的一个（直接或反向）除以 N ，这是方便和品味的问题。通常，FFT例程不执行此标准化，用户应该意识到它并按照他的喜好进行标准化。 See

第二：在（比方说）16点DFT中，你所谓的 bin 0 将对应零频率（DC）， bin 1 低频率。 。 bin 4 中频， bin 8 到最高频率， bins 9 ... 15 到“负频率”。在您的示例中， bin 1 实际上是低频和中频。除了这种考虑之外，你的“均衡”中没有任何概念上的错误。我不明白你的意思“信号在低频时失真”。你怎么看？