近似球面上两个线段之间的相对角度

Question

我需要一个想法！我想用3D模拟眼睛上的血管网络。我已经统计了与血管直径，长度等有关的分支行为。我现在所困的是可视化：

眼睛近似为球体E，其中心位于原始C = [0, 0, 0]和半径r。

我想要达到的目标是基于以下输入参数，它应该能够在E的表面/周边绘制一个片段：

输入：

• 上一段结尾的笛卡尔位置：P_0 = [x_0, y_0, z_0]
• 段长：L
• 段直径：d
• 相对于上一段的所需角度：a（1）

输出：

• 结果段结束的笛卡尔位置：P_1 = [x_1, y_1, z_1]

我现在所做的，如下：

1. 从P_0，生成一个半径为L的球体，代表我们可能使用正确长度绘制的所有点。此集称为pool。
2. 限制pool仅包含C和r*0.95之间距离r的点，因此仅包括眼周边的点。
3. 仅选择会产生最接近所需角度a的相对角度（2）的点。

问题是，无论我想要什么角度a，实际上都不是点积测量的。假设我想要一个0°的角度（即新的段跟随前一个方向相同的方向，我实际得到的是一个大约30度的角度，因为球体的曲率。我猜我想要的更多是2D从从球体到分支点的正交角度观察时的角度。请查看下面的屏幕截图以进行可视化。

有什么想法吗？

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（1）原因是，具有最大直径的子节点通常遵循前一段的路径，而较小的子节点倾向于以不同的角度。

（2）按acos(dot(v1/norm(v1), v2/norm(v2)))

计算

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解释问题的屏幕截图：

黄线：上一段 红线：＆＃34;新＆＃34;分段到其中一个点（不一定是正确的一个） 蓝色x＆＃39; es：池（文本=以弧度表示的角度）

Answer 1

我将用自己的符号重述问题：

  

在以半径r为中心的球体表面上给出两个点P和Q，找到一个新的点T，使得从PQ到QT的转弯角度为A，QT的长度为L.

因为相对于球体的线段较小，我们将在枢轴点Q处使用球体的局部平面近似。（如果这不是一个好的假设，则需要在您的问题中更明确。）

然后您可以按如下方式计算T.

// First compute an aligned orthonormal basis {U,V,W}.
//  - {U,V} should be a basis for the plane tangent at Q.
//  - W should be normal to the plane tangent at Q.
//  - U should be in the direction PQ in the plane tangent at Q
W = normalize(Q - C)
U = normalize(Q - P)
U = normalize(U - W * dotprod(W, U))
V = normalize(crossprod(W, U))

// Next compute the next point S in the plane tangent at Q.
// In a regular plane, the parametric equation of a unit circle
// centered at the origin is:
//     f(A) = (cos A, sin A) = (1,0) cos A + (0,1) sin A
// We just do the same thing, but with the {U,V} basis instead
// of the standard basis {(1,0),(0,1)}.
S = Q + L * (U cos A + V sin A)

// Finally project S onto the sphere, obtaining the segment QT.
T = C + r * normalize(S - C)