Question

我尝试过纽曼编写的计算物理练习，并编写了以下代码用于自适应梯形法则。当每张幻灯片的误差估计值大于允许值时，它将该部分分成两半。我只是想知道我还能做些什么才能使算法更有效率。

xm=[]
def trap_adapt(f,a,b,epsilon=1.0e-8):    
    def step(x1,x2,f1,f2):
        xm = (x1+x2)/2.0
        fm = f(xm)
        h1 = x2-x1
        h2 = h1/2.0
        I1 = (f1+f2)*h1/2.0
        I2 = (f1+2*fm+f2)*h2/2.0
        error = abs((I2-I1)/3.0) # leading term in the error expression
        if error <= h2*delta:
            points.append(xm) # add the points to the list to check if it is really using more points for more rapid-varying regions
            return h2/3*(f1 + 4*fm + f2)
        else:
            return step(x1,xm,f1,fm)+step(xm,x2,fm,f2) 
    delta = epsilon/(b-a)
    fa, fb = f(a), f(b)  
    return step(a,b,fa,fb)

此外，我使用了一些简单的公式来比较这与Romberg积分，并发现在相同的精度下，这种自适应方法使用更多的点来计算积分。

仅仅是因为其固有的局限性吗？使用这种自适应算法而不是Romberg方法的任何优点？有什么方法可以让它更快更准确？

Answer 1

您的代码正在精炼以满足每个子区间的容错。它还使用低阶集成规则。这两方面的改进可以显着减少功能评估的数量。

不是分别考虑每个子区间中的错误，而是更高级的代码计算所有子区间的总误差并进行细化，直到总误差低于所需的阈值。选择子区间以根据它们对总误差的贡献进行细化，首先细化较大的误差。通常，优先级队列用于快速选择子区域进行细化。

高阶集成规则可以精确地集成更复杂的函数。例如，您的代码基于Simpson的规则，该规则对于最大为3的多项式是精确的。更高级的代码可能会使用对更高程度的多项式精确的规则（例如10 -15）。

从实际的角度来看，最简单的方法是使用实现上述想法的固定例程，例如scipy.integrate.quad。除非您对要整合的内容有特别的了解，否则您不太可能做得更好。

Romberg整合需要在等间隔点进行评估。如果您可以在任何时候评估该功能，那么其他方法通常更准确，以便平滑＆＃34; （多项式）函数。如果你的函数在任何地方都不平滑，那么自适应代码会做得更好，因为它可以专注于减少非平滑区域中的错误。

如何改进这种自适应梯形法则？

1 个答案: