涉及一系列日志的Big-O证明

Question

证明这一点

我把这个系列放到了总和中，但我不知道如何解决这个问题。任何帮助表示赞赏

Answer 1

有两个有用的数学事实可以帮到这里。首先，请注意任何x的⌈x⌉≤x+ 1。因此，

  

从i = 1到n的总和（⌈log（n / i）⌉）≤（从i = 1到n log（n / i）的总和）+ n

因此，如果我们可以证明第二个求和是O（n），那么我们就完成了。

使用日志属性，我们可以重写

  

log（n / 1）+ log（n / 2）+ ... + log（n / n）

     

= log（n ⁿ / n！）

让我们看看我们是否可以简化这一点。使用对数属性，我们得到了

  

log（n ⁿ / n！）= log（n ⁿ ） - log（n！）

     

= n log n - log（n！）

现在，我们可以使用斯特林的近似值，即

  

log（n！）= n log n - n + O（log n）

因此：

  

n log n - log（n！）

     

= n log n - n log n + n - O（log n）

     

= O（n）

所以求和总和为O（n）。

希望这有帮助！

Answer 2

作为一项规则，我们知道：

因此：