浮点比较是否连续？如果！（a＆lt; = b）是（b＆gt; a）保证？

Question

是否保证浮点：

• (a <= b)隐含!(b > a)
• !(a <= b)隐含b > a

我目前正在处理跨语言，但如果需要，您可以在C，C ++或C＃中假设float或double。假设不涉及NaN。

我认为IEEE的规则适用于此。我不确定他们的订购规则是否意味着上述情况。

我特别关注的是a和b并不总是相同的变量，而是相同的值。它们总是来自完全相同的计算。但是，由于比较是在不同的代码位置完成的，我不能保证它们是否总是存储/截断的形式（最终可能会有扩展的精度）。

由于我正在寻求保证，答案应包括提供这些保证的参考，或正式/强烈暗示担保。

Answer 1

根据IEEE 754（2008）标准（第5.11节）：

  

可能存在四种互斥关系：小于，等于，大于，无序。当至少一个操作数是NaN时，出现最后一种情况。每个NaN都应将无序与包括其自身在内的所有内容进行比较。比较应忽略零的符号（所以+0 = -0）。相同符号的无限操作数应比较相等。

所以是的，假设两个参数都不是NaN，那么这两个语句都是正确的。

关于隐式扩展精度格式的使用，问题是允许这些意味着它不再严格遵循IEEE 754标准。有关启用严格合规性的信息，请参阅this excellent answer and discussion。

更新：据我了解，如果您使用的是最近的标准（例如-std=c99），那么只要您要比较的内容是声明变量，您就不必担心中间精度（例如double a = 0.1; if (a < b) ...）而不是常数（例如if (0.1 < b) ...）。

Answer 2

答案是是，但仅仅因为您通过阅读IEEE-754标准排除了NaN。通常答案是否。标准的相关部分如下：

  

5.11比较谓词的详细信息

     

对于每种支持的算术格式，都可以进行比较   一种浮点数据到另一种格式（见5.6.1）。   另外，浮点数据以不同格式表示   只要操作数的格式相同，就具有可比性   基数。

     

可能存在四种相互排斥的关系：小于，相等，   大于，无序。当至少一个操作数是NaN时，出现最后一种情况。每个NaN都应将无序与。进行比较   一切，包括自己。比较应忽略的标志   零（所以+0 = -0）。相同符号的无限操作数应进行比较   等于

     

语言定义如何传递比较结果   两种方式之一：作为识别四种方式之一的关系   上面列出的关系，或者作为对谓词的真假回应   命名所需的具体比较。

     

表5.1，表5.2和表5.3在功能上表现出二十二个   各种特殊的和不同的有用的谓词和否定   传统的名称和符号。每个谓词都是真的，如果有的话   表明关系是真的。关系“？”表示无序   关系。表5.2列出了五个无序信令谓词和   他们的否定导致无效的操作异常时   关系是无序的。无效的操作异常防御   在使用该程序编写的程序中出现意外的安静NaN   标准谓词{＆lt;，＆lt; =，＆gt; =，＆gt;}及其否定，没有   考虑一个安静的NaN操作数的可能性。程序   明确考虑到可能安静的NaN操作数的可能性   使用表5.3中没有信号的无序 - 静默谓词   这样一个无效的操作异常。

     

比较永远不会发出除无效操作之外的异常信号   异常。

     

请注意，谓词成对出现，每个谓词都是逻辑否定的   其他;应用NOT之类的前缀来否定表中的谓词   5.1，表5.2和表5.3颠倒了其相关条目的真/假意义，但不改变无序关系   导致无效的操作异常。

     

表5.1中的无序 - 静默谓词不表示异常   安静的NaN操作数：

     

表5.1-必需的无序 - 安静谓词和否定

     

     

表5.2中的无序信令谓词，供...使用   程序不编写，以考虑NaN的可能性   操作数，在安静的NaN操作数上发出无效操作异常信号：

     

表5.2-必需的无序信令谓词和否定

     

     

表5.3中的无序安静谓词，供...使用   编写的程序考虑到NaN操作数的可能性，   不要在安静的NaN操作数上发出异常信号：

     

表5.3-必需的无序 - 安静谓词和否定

     

     

有两种方法可以编写谓词的逻辑否定，一种   使用NOT显式，另一个反转关系运算符。   因此在编写的程序中没有考虑NaN的可能性   操作数，无序信号谓词的逻辑否定（X.   ＆LT; Y）只是无序信令谓词NOT（X = Y）的不同之处在于它   当X和Y为时，不表示无效的操作异常   无序（除非X或Y是信令NaN）。相反，（X = Y）的逻辑否定可以写为NOT（X = Y）或   （X？＆lt; Y＆gt;）;在这种情况下，两个表达式在功能上是等价的   至（X≠Y）。

因此，对我来说，由于缺少NaN排除了UN关系，因此剩下的就是集合EQ LT GT。肯定LT EQ表示拒绝GT，拒绝LT EQ确实是GT。