假设a，b是两个不是+ inf，-inf或NAN的64位浮点，我可以声明：
a = b当且仅当a-b = 0
如果是，为什么它总是成立？
答案 0 :(得分：3)
不，通常情况并非如此。
如果浮点运算符完全符合IEEE 754，则为true；如果非IEEE-754运算符使用非正规值或逐渐下溢，则可能为true。
但是，并非总是完整使用IEEE 754。处理器具有以下模式很常见：处理器将其中的次标准结果和/或次标准输入更改为零，并且操作系统（或程序初始化代码）可能默认启用此类模式以提高性能。在这种模式下，减去两个非常小的标准数会产生零，而不是在IEEE 754规则下适当的次标准结果。
关于为什么保存，请考虑浮点数的一般格式。每个浮点系统的详细信息各不相同，但通常浮点数为 s • N • b e ，其中 s （用于符号）为+1或-1， N （称为有效数字）为非负整数， b 是基数， e 是指数。 b 是固定的，通常 N 和 e 的范围受到限制。我们还将假定浮点算术在可表示时返回精确的数学结果，而在不能表示时，则返回用户在特定方向上选择的最接近的可表示值或较近的值。
通用 N 是固定数量的base- b 数字，例如24位为基数为2的格式，在这种情况下，0≤ N < / em> < b d ，其中 d 是位数。或者，可以将其限制为其他最大值，以使0≤ N < N max 。 （例如，Microsoft使用十进制格式，其中 b 为10，但是 N 是96位数字。）在任何一种情况下，如果这是对< em> N ，则a = b（如果a-b == 0成立）。要看到这一点，请考虑两个正浮点数（其他符号的情况如下） N 0 • b e 0 和 N 1 • b e 1 。在不失一般性的前提下，假设 e 0 ≤ e 1 。如果它们相等，则数学结果为零，并且由于这是可以表示的，因此计算的浮点结果为零。如果它们不相等，则数学结果为（ N 0 - N 1 • b < / em> e 1 - e 0 ）• b < / em> e 0 。术语（ N 0 - N 1 • b e 1 − e 0 ）可以为正或负，可以通过设置符号来处理结果，它可能大于或等于 N max 。无论是哪种情况，计算结果都可以为零吗？否，因为 N 0 - N 1 • b e 1 − e 0 是一个整数，因此，如果不为0，则为至少1个大小，因此可表示的值之一+1• b e 0 或-1• b e 0 比0更接近于数学结果，因此永远不会选择0将结果四舍五入到最接近的可表示值。
因此，对于允许任何 N 使得0≤ N < N max ，并且使用某种“从最近到最近”的方法，该命题成立。 （如上所述，如果浮点算法使用另一种方法，例如即使存在更接近的可表示值，也将次正规值四舍五入为零，则该命题将不成立。）
在某些浮点系统中会出现问题，因为 N 被进一步约束。一个常见的要求是 N 必须为零或必须进行规范化以使其前导位数不为零，这意味着 N = 0或 b d −1 ≤ N < b d 。考虑在这样的系统中减去两个数字，得到结果（ N 0 - N 1 • b e 1 - e 0 ）• b e 0 。术语 N 0 - N 1 • b e 1 − e 0 可能小于 b < em> d −1 。为了解决这个问题，我们希望通过将项乘以 b ，同时除以 b e < sub> 0 表示为 b 。但是指数是有界的。我们只能将其缩小。如果 e 0 太小，我们可能无法调整 N 项以适合 b < sup> d −1 ≤ N < b d 。在这种情况下，必须将精确的数学结果四舍五入为最接近/可表示的值，这可能会导致产生0。因此，在需要在 N 项中进行归一化的浮点系统中，即使a-b为假，a == b也会产生零。
IEEE-754在可能的情况下要求标准化的有效位数，但允许在指数范围的底部对有效位数进行非标准化。因此，在数学上，它的行为类似于要求0≤ N < b d 的系统，因此它满足命题。
（注意：我已将浮点格式描述为 s • N • b e 其中 N 是整数，浮点格式也经常以 N 作为基数 b 来描述，其中 d 个数字，其中第一个数字之后或第一个数字之前有一个小数点。在这种情况下， N 不一定是整数，而是< em> b 1− d 或 b - d 。该描述是不相关的，因为数学行为是相同的，除了证明必须谈论 N 是 b 的幂的整数倍，而不是简单的整数，并且指数 e 的边界偏移了1− d 或 d 。）
答案 1 :(得分：1)
是的，这是真的（假设使用IEEE-754浮点数，该浮点数在桌面体系结构中无处不在）。一种更强大，更普遍使用的陈述，即斯特本定理，说如果两个数在彼此的2内，则它们的差就可以精确表示出来。您的陈述就是其中的特例。
一种更简单的查看方法是考虑问题可能出在哪里。如果a != b但a - b舍入为零，则a和b必须极端靠近。实际上，它们之间的差异必须小于最小的次正规数的一半。但这显然小于相邻次正规数之间的距离！试图找到两个差异不相等的浮点数，其差值四舍五入就如同尝试找到两个不相等的整数，其差值四舍五入。