Question

给出参数C和M，帮助解密加密列表   整数。前一个参数用于生成{a_n}和{s_n}   序列，定义如下：


a_1 = a_2 = 1

forall n＆gt; = 1：a_（n + 2）= C * a_（n + 1）+ a_n

forall n：s_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n


密文由T个自然数组成。他们每个都加密   一个结果号码。为了恢复原始的x值，它是   确定以下操作的结果所必需的：s_x mod   中号

输入：两个自然数C和M，T表示测试次数和T.   仅包含一个x数字的行。

1 <= C，M <= 10 ^ 18
1 <= T <= 1000
1 <= x <= 10 ^ 18

示例输入：

1 10
5
2
3
4
10
1

示例输出：

2
4
7
3
1

这是一个出现在Deadline24算法竞赛中的问题，该竞赛今天上午采取了一些措施，并且为了所有圣洁的爱，我无法想到任何修剪计算的方法，所以在最糟糕的情况下，你不必做10 ^ 18次操作。

任何蛮力方法都会立即被删除，因此这是一种天真的递归方法。我们可能会注意到序列是Fibonacci序列的一个变体，但它没有多大帮助，因为具有C！= 1的序列与常规Fibonacci序列不同，因此我们无法应用任何近似值像Binet的Fibonacci数公式来计算F_（n + 2） - 1，它通常是前n个Fibonacci数的总和。

我想过用C语言来表达这些术语并应用一些快速的modpow但是由于它很慢（我们仍然需要计算每个项的系数，这是最后的每个幂的循环）总和）并且难以计算（看起来就像有一种模式，但它很快变得乏味且很难证明它将如何进展）。

对于最大输入，解决这个问题的好方法是什么？

Answer 1

我们可以使用矩阵求幂来得到对数解：

f(n) = C*f(n - 1) + f(n - 2)

a b       f(n)                    
     *            = [f(n + 1)   f(n)]
c d     f(n - 1)

这导致：

a = C
b = 1
c = 1
d = 0

因此，您可以使用此矩阵来获取函数的n个项。至于总和，请注意：

f(n)     = Cf(n - 1) + f(n - 2)
f(n - 1) = Cf(n - 2) + f(n - 3)
...
f(3)     = Cf(2)     + f(1)
=============================== +
s(n) - 2 = C(s(n - 1) - 1) + s(n - 2)
s(n) = Cs(n - 1) + s(n - 2) - (C - 2)

这不如你对Fibonacci数字所能做的那么好（用单个Fibonacci数表示总和），但它可以通过exponentiation by squaring使用类似的（3 x 3）来解决矩阵到初始重现之一，您可以使用相同的方法找到它，并且具有不同的起始条件：

s(1) = 1
s(2) = 2

Answer 2

让我们尝试简化每一步的计算。首先，我们应该寻找a_n的非递归公式。这个Recurrence Relationship有一个封闭的表单解决方案，根据递归关系，我们a_n = A * r_1**n + B * r_2**n r_1和r_2是等式r**2 = C * r + 1的解决方案在问题中。然后我们可以解析A和B以便a_1 = a_2 = 1。

现在，我们可以根据s_n的公式，并重新排列条款，考虑a_n：

s_n = A * (r_1 + r_1**2 + ... + r_1**n) + B * (r_2 + r_2**2 + ... + r_2**n)

现在，使用Sum of a Geometric Progression的公式，我们得到公式

s_n = A * r_1 * (1 - r_1**n) / (1 - r_1) + B * r_2 * (1 - r_2**n) / (1 - r_2)

这为您提供了如何继续的基本概要。实际实施时需要考虑以下几点：

如果a_n，r_1 = r_2的公式会发生变化。这不会发生在这个问题上。为什么呢？
如果r_1 = 1或r_2 = 1，则公式要求除以0.
整数溢出。
最后的模数运算。

基于Fibonacci序列变化的算法任务

2 个答案: