冰雹序列变化的时间复杂度？

Question

考虑以下代码段。

    Looping(n) 
      {
       while (true) {
         if (n <= 1) then return;
          else if (n mod 3 = 0) then n = n * 5 + 1;
         else n = n/9; // integer division
      }

此代码段的最坏情况时间复杂度是多少？ `

Answer 1

我们可以对此代码做出的一个重要观察是，在采取任何两个步骤之后，n的大小将减少（大致）2/3。这就是原因。考虑n的任何初始值，并查看模3的余数。

• 如果剩余部分是一个或两个，我们将n除以9并向下舍入。
• 否则，余数为0.设置n = 5n + 1现在使n的余数为1，所以在下一次迭代中我们将它除以9。然后，n的新值是（5n + 1）/ 9的最低值，（粗略地说）是原始值的5/9。它肯定不超过原始值的2/3。

因此，我们得到它将在O（log n）步骤之后终止，因为每次迭代都会使n减少某个常数因子。

希望这有帮助！

Answer 2

是O（log（n））。每次你做5n + 1时你用9除以（因为5n + 1 = 1 mod 3，如果n = 0 mod 3），所以最糟糕的是你每两步做一次（5n + 1）/ 9 ，每两步少于2n / 3。这是O（log（n））。如果n mod 3从不为0，那么你每步除以9，也就是O（log（n）），只是用不同的常数。

所以无论你是什么，你都要采取O（log（n））步骤来得到1或0。