我有一个不寻常的（我认为）问题。对于给定数量F_n（我不知道n的值），我必须找到数字F_0，F_1，使得F_ {n} = F_ {n-1} + F_ {n-2}。另外的困难是这个序列应该尽可能长（F_n的值n应该是最高的），如果存在多个解决方案，我必须用最小的F_0。总之，我必须生成我自己的“斐波那契”序列。一些例子：
in：F_n = 10; out：F_0 = 0; F_1 = 2;
in：F_n = 17; out：F_0 = 1; F_1 = 5;
in：F_n = 4181; out：F_0 = 0; F_1 = 1;
我观察到的每个序列（“Fibonacci规则”）F_n都有：
F_n = Fib_n * F_1 + Fib_ {n-1} * F_0
其中Fib_n是第n个斐波那契数。特别是斐波纳契数列确实如此。但我不知道这种观察是否值得。我们不知道n，我们的任务是找到F_1，F_0因此我认为我们什么也没有获得。有什么想法吗？
答案 0 :(得分：3)
F n-1 = round（F n /φ）
其中φ=（√5+ 1）/ 2。
证明留给读者练习; ^ P
更新这是错误的，回到绘图板。
更新2 让我们从F n 和F n-1 向后计算。
F n-2 = F n - F n-1
F n-3 = F n-1 - F n-2 = F n-1 - （F n - F n-1 ）= 2F n-1 - F n
F n-4 = F n-2 - F n-3 =（F n - F n-1 ） - （2F n-1 - F n ）= 2F n - 3F n- 1
F n-5 = F n-3 - F n-4 =（2F n-1 - F n ） - （2F n - 3F n-1 ）= 5F n-1 - 3F ñ
F n-6 = F n-4 - F n-5 =（2F n - 3F n-1 ） - （5F n-1 - 3F n ）= 5F n - 8F n- 1
注意模式？很容易从真实的 Fibonacci序列和最后两个成员计算序列的任何成员。但是我们只知道最后一个成员，我们怎么能知道最后一个呢？
让我们用F n-1 来记下要求F i > 0。
F n-2 = F n -F n-1 ＆gt; 0⇒F n-1 ＆lt; ˚F<子>名词
F n-3 = 2F n-1 -F n 0⇒F n-1 ＆gt; ˚F<子>名词 / 2
F n-4 = 2F n -3F n-1 ⇒F n-1 ＆lt; 2F <子>名词 / 3
F n-5 = 5F n-1 -3F n ⇒F n-1 ＆gt; 3F <子>名词 / 5
因此，我们在实际Fibonacci序列的书面术语中有一个F n-1 的边界序列，每个都比前一个更紧密。仍然可满足的最后一个界限确定对应于最长序列的F n-1 。如果有多个数字满足最后一个边界，则使用最小或最大的数字，具体取决于序列是偶数还是奇数。
例如，如果F n = 101，则为 101 * 5/8＆lt; F n-1 ＆lt; 101 * 8 /13⇒F n-1 = 63
先前（不正确）解决方案意味着F n-1 = 62，这是接近但没有雪茄。
答案 1 :(得分：2)
我不确定你在找什么。你提到的递归系列定义为：
Fn = F{n-1} + F{n-2}
显然，如果凝视值可以是任何值，我们可以选择F{n-1}，这将给出F{n-2} ( = Fn=F{n-1})。知道F{n-1} = F{n-2} + F{n-3}，F{n-3}之后可以从F{n-1} and F{n-2}计算F{n}。这意味着您可以将数字追溯到无穷大，因此没有“最长”的序列，并且有无限多的有效序列。
在某种程度上，您正在计算具有初始值F{n-1}和F{i} = F{i+2}-F{i+1}的反Fibonacci序列，其中i，F{i}永远在减少
更新：
如果您希望将解决方案空间约束到所有Fib{i}都是非负整数的结果，那么您将只获得少数（大多数时间为单例）解决方案。
如果您计算原始斐波纳契数（F{n} < Fib{i-1}），很快就会得到F{0};显然你不需要再进一步了。然后，您可以尝试F{1}和F{n} <= Fib{i} * F{1}+ Fib{i-1} * F{0}的所有可能组合，以便F{0} - 非负F{1}和{{1}只有一定数量的可能性（显然可以排除F{0}=F{1}=0）。然后看看哪些i（s）在满足平等的那些中是最高的 - 你得到F{0}和F{1}
答案 2 :(得分：2)
你的等式
F_n = Fib_n * F_1 + Fib_{n-1} * F_0
是linear Diophantine equation in two variables F_1和F_0。该链接提供了一种有效的算法来计算解决方案集的描述，使您可以找到解决方案（如果存在），最小F_1 >= 0，F_0 >= 0和F_0。然后，您可以尝试猜测n = 0, 1, ...，直到找不到解决方案。这种方法是log(F_n)中的多项式。
答案 3 :(得分：2)
F_n = Fib_n * F_1 + Fib_ {n-1} * F_0
其中Fib_n是第n个斐波那契数。特别适合 斐波那契序列。但我不知道这个观察是否是 值得一试。我们不知道n，我们的任务是找到F_1，F_0所以我 我们认为我们一无所获。
嗯，你正在寻找最长的序列，这意味着你想要最大化n。
为斐波纳契数创建一个查找表。从最大n开始，Fib_n <= F_n，表格中的上一个条目为fib_n{n-1}。现在唯一的变量是F_1和F_0。解决linear Diophantine equation。如果它有解决方案，你就完成了。如果没有，请将n减1，然后重试，直到找到解决方案。
注意：解决方案始终存在，因为F_2 = 1 * F_1 + 0 * F_0具有解决方案F_2 = F_1。
答案 4 :(得分：0)
模拟用矩阵计算Fibonacci数（但具有不同的初始值）。 [[0 1] [11]]到幂k将在乘以[F_ {n}，F_ {n + 1}]时产生[F_ {n + k}，F_ {n + 1 + k}]。
由于将矩阵提升为幂是O（log n）（假设整数的乘法是O（1）），您可以在O（log n）时间内执行整个计算，直到矩阵系数开始占主导地位。计算。
我不知道你工作的数字有多大，但这个矩阵的n次幂是[[F_ {n-1} F_n] [F_n F_ {n + 1}] ]。并记录（F_n）~n / 5（因此第十亿个斐波那契数字将有大约2亿个数字）。