完全加权图和哈密尔顿之旅

Question

我在期中考试时遇到了一个问题。任何人都可以澄清答案吗？

问题A：给定一个完整的加权图G，找到一个权重最小的汉密尔顿游。

问题B：给定一个完整的加权图G和实数R，G是否具有最多R的哈密顿量之旅？

假设有一台机器可以解决B.我们可以多少次呼叫B（每次给出G和实数R），用该机器解决问题A？假设G中边缘的总和达到M.

1）我们不能这样做，因为有无数的状态。

2）O（| E |）次

3）O（lg m）次

4）因为A是NP-Hard，所以不能这样做。

Answer 1

第一个算法

答案是(3) O(lg m) times。你只需要在加权图中对最小哈密顿旅行进行二分搜索。请注意，如果图表中存在长度为L的哈密尔顿之旅，那么检查长度为L'的哈密尔顿之旅（L' > L是否存在）是没有意义的，因为您感兴趣在最小重量的哈密尔顿之旅中。因此，在算法的每个步骤中，您可以消除剩余一半可能的游览权重。因此，您必须在计算机B次调用O(lg m)，其中m代表完整图表中所有边的总权重。

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修改

第二种算法

我稍微修改了上面的算法，该算法使用机器O(|E|)次，因为有些人说我们不能在不可数的可能值集中应用二进制搜索（并且它们可能是正确的）：取来自图的每个可能的边缘子集，并且对于每个子集存储一个值，该值是来自子集的所有边的权重之和。让我们将所有子集的值存储在名为Val的数组中。此数组的大小为2^|E|。按递增顺序排序Val，然后对最小哈密顿路径应用二进制搜索，但这次只使用Val数组中的值调用解决问题B的机器。由于每个边缘子集都包含在已排序的数组中，因此可以保证找到解决方案。该计算机的总呼叫数为O(lg(2^|E|))，即O(|E|)。所以，正确的选择是(2) O(|E|) times。

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注意：

我提出的第一个算法可能不正确，因为有些人注意到你不能在不可数集中应用二进制搜索。由于我们讨论的是实数，因此我们无法在[0-M]

范围内应用二进制搜索

Answer 2

我认为那个意味着答案的选择是1-你不能那样做。 原因是你只能对可数集进行二进制搜索。

请注意，图形的边缘甚至可能具有负权重，此外，它们可能具有分数或甚至无理的权重。在这种情况下，答案的搜索空间将是小于m的所有实际值的集合。

但是，您可能会在Log（n）时间内任意接近A的答案，但您无法找到确切的答案。 （n是可数空间的大小）。

Answer 3

假设在图的编码中，权重被编码为表示非负整数的二进制字符串，并且Problem B实际上可以通过输入实数来解决，并基于此进行计算，事情显然如下。

可以在积分区间{0,...,M}上进行第一次二分搜索，以获得O(log M)调用Problem B算法的哈密顿游的最小权重。随后最佳已知，我们可以消除G中的单个边缘，并使用结果图作为Problem B算法的输入来测试最佳变化。此过程使用O(|E|)对Problem B算法的调用来识别在最佳哈密顿游览中出现的边。此方法的总运行时间为O( (|E| + log M ) * r(G))，其中r(G)表示Problem B将图G作为输入的算法的运行时间。我认为r是一个多项式，尽管问题没有明确说明这一点;总的来说，总运行时间将在输入的编码长度中以多项式为界，因为M可以在多项式时间内计算（因此在输入G的编码长度中是伪多项式限制的）

话虽如此，所谓的答案可以评论如下。

1. 答案是错误的，因为必要状态的集合是有限的。
2. 可能是真的，但不遵循上面讨论的算法。
3. 可能是真的，但不遵循上面讨论的算法。
4. 答案是对的。严格来说，Problem A的 NP - 硬度并不排除多项式时间算法;此外，Problem B的算法未被声明为多项式，因此如果P=NP可通过多项式调用次数求解{偶数Problem A，则 Problem B的算法（上面概述的算法就是这种情况）。