给定一个排序数组[1..n]，其中每个元素的范围从1到2n。有没有办法找到三元组，其和为整数x。我知道O（n ^ 2）解决方案。有没有比n ^ 2更好的算法。
答案 0 :(得分：4)
使用该事实可以实现O(n log n)时间复杂度，每个元素的最大值为O(n)。
对于每个1 <= y <= 4 * n，让我们找到总计为y的元素对数。我们可以创建2 * n幂的多项式，其中该多项式的i - 系数是给定数组中数字i的出现次数。现在我们可以使用傅立叶的快速变换在s时间内找到此多项式的平方（我称之为O(n log n)）。 i系数s恰好是总计i的元素对数。
现在我们可以迭代给定的数组。我们假设当前元素是a。然后我们只需要检查总计为X - a的对数。我们已经在步骤1）中完成了它。
如果所有三元组必须由不同元素组成，我们需要减去总计为X但包含重复项的此类三元组的数量。我们也可以在O(n log n)时间内完成（对于由三个相等元素组成的三元组，我们只需要减去给定数组中X / 3的出现次数。对于有一个重复的三元组，我们可以迭代重复两次的元素（a）并减去X - 2 * a的出现次数。
如果我们需要找到一个三元组，而不仅仅是计算它们，我们可以执行以下操作：
按照上面的建议计算三胞胎和对的数量。
找到这样一个元素，即它与X总和为一对。
找到两个元素，总计达到该对的所需总和。
所有这些步骤都可以在线性时间内完成（使用所有总和为O(n)的事实）。
答案 1 :(得分：0)
您的问题显然是non-zero sum variant的3SUM problem。
因为您事先知道整数的可能范围，所以根据文章的第二段，您可以达到比一般情况更低的界限：
当元素是 [ - N，...，N] 范围内的整数时，3SUM可以是 通过将输入集 S 表示为 O（n + N log N）时间来解决 位向量，使用discrete convolution将所有成对和的集合 S + S 计算为Fast Fourier transform，最后比较 这设置为 -S 。
在您的情况下，您必须在运行算法之前通过减去 n + X / 3 来预处理数组。
有一点需要注意的是，该算法假设您正在使用 set 数字，并且我不确定如果您的<运行时间可能会产生什么影响（如果有的话） em> array 可能包含重复项。