Question

我在接受采访时被问到这个问题。

“给定一系列整数，找到总和小于某个数字的所有三胞胎”

经过一番争吵之后，我告诉采访者，最好的解决方案仍然会导致最坏情况的运行时间O（n ³）并且可能需要O（n ³）

面试官公然不同意我并告诉我“你需要回到你的算法......”。

我错过了什么吗？

Answer 1

可能的优化将是：

删除数组中大于sum;
对数组进行排序;
运行O(N^2)以获取a[i] + a[j]，然后在sum - a[i] - a[j]范围内对[j + 1, N]进行二分搜索，索引是可能的候选人数，但您应该减去j因为他们已被保险。

复杂性将为O(N^2 log N)，稍好一些。

Answer 2

您可以解决此O(n^2)时间：

首先，对数组进行排序。
然后，使用第一个指针i循环遍历数组。
现在，使用第二个指针j从那里循环，第三个指针k同时从循环结束。
当您处于A[i]+A[j]+A[k] < X的情况时，您知道所有j<k'<k同样适用，因此请使用k-j增加您的计数并增加j。我保留A[i]+A[j]+A[k+1] >= X隐藏的不变量，因此递增j只会使该语句更强。
否则，递减k。当j和k见面时，请增加i。
您只会增加j并递减k，因此需要O(n)摊销时间才能见面。

在伪代码中：

count= 0
for i = 0; i < N; i++
    j = i+1
    k = N-1
    while j < k
        if A[i] + A[j] + A[k] < X
            count += k-j
            j++
        else
            k--

我看到你要求所有三胞胎。很明显，可以有O(n^3)三胞胎，所以如果你想要它们，你将需要尽可能多的时间，最糟糕的情况。

Answer 3

O（n ^ 2）算法。

对列表进行排序。

对于每个元素ai，这是计算组合数的方式：

二进制搜索并找到最大aj，使得j <1。我和ai + aj＆lt; =总数。

二进制搜索并找到最大ak，使得k <1。 j和ai + aj + ak＆lt; = total

对于（ai，aj）的这种特定组合，k是小于或等于总数的和的数量。

现在递减j并尽可能地增加k（但是ai + aj + ak <=总数）

增量和减量的总数小于i。因此，对于特定的i，复杂性是O（i）。因此总体复杂度为O（n ^ 2）。

我遗漏了许多角落条件，但这应该会给你一个想法。

=== EDIT ===

在最坏的情况下，有O（n ^ 3）个解决方案。因此明确输出它们肯定需要O（n ^ 3）时间。没有办法解决它。

但是如果你想返回一个隐式列表（即一个压缩的组合列表），这仍然有用。压缩输出的一个例子是（ai，aj，ak），其中k为1：p。

Answer 4

这是输出大小很重要的问题的示例。例如，如果数组仅包含1, 2, 3, 4, 5, ..., n且最大值设置为3n，那么每个三元组都将是一个答案，而您必须执行{{1}工作只是为了列出所有。另一方面，如果最大值为Ω(n^3)，那么在确认所有项目都太大后，在0时间内完成会很不错。

基本上，我们希望output-sensitive algorithm的运行时间类似于O(n)，其中O(f(n) + t)是输出大小，t是输入大小。

n算法基本上可以跟踪三元组从超过限制转变到限制之下的转换点。然后它会产生该表面下的所有东西。空间是三维的，因此表面是二维的，你可以在一个恒定的时间内从一点到另一点跟踪它。

这里有一些python代码（未经测试！）：

O(n^2 + t)

“查找总和小于某个数字的所有三元组”是否有比O（n3）运行时更好的解决方案？

4 个答案: