N组的最大交集，具有忽略某些集合的能力（设置压缩）

Question

假设您有N组未排序的字符，这些组之间有共同的字符。我想从这些集中分解出尽可能多的字符以使它们变小。但是将字符分解出来有一个约束：字符必须在你从N中选择的M个集合的交集中。这有点像无损集合压缩算法。以下示例是有序集，但这是为了便于阅读。不要假定集合将被订购。

一个简单的例子：

S1 = a b c d
S2 = a b c e f
S3 = a f g

答案是仅交叉S1和S2并将因子分解出来：a b c。这样可以减少6个字符，其中任何其他交集组合都会减少。

一个棘手的例子：

S1 = a b c d e f g h i
S2 = j k l m n
S3 = j k l o p q
S4 = j k l
S5 = a b c d

答案是忽略集合S1和S5并将剩余集合S2，S3和S4的交集得到：j k l。

b c d不正确的原因是因为当你将这些字符排除在集合之外时，剩下19个字符，而当你考虑j k和l out时，只剩下18个字符。

是否有一种算法可以比指数时间更快地解决这类问题？您似乎必须测试集合的幂集中的每个集合的交集（{}，{S1}，{S2}，{S3}，{S1，S2}，{S1，S3}，{S2 ，S3}，{S1，S2，S3}） - 8个交叉点，用于计算是否只有3组。

P.S。这不是一个紧迫的问题，但我认为这是我遇到的一个有趣的问题。

Answer 1

如果字母大小不是太大......我会用动态编程来解决这个问题......运行时间应该是O（S * 2 ^ n），S =集合数，n =＃of字母

定义DP（i，bitmask）是使用此位掩码在set-0到set-i中的任何子集可以取消的最大字符数

例如，我们现在有3套和5个字母{a，b，c，d，e}

S0 = {a,d,e}, S1 = {b,c,e}, S2 = {a,c,e}

尝试使用0-1位来屏蔽每一组：

S0 = 11001 = 25, S1 = 10110 = 22, S2 = 10101 = 21

总共有2 ^ 5个不同的可能掩码，我们将在计算DP（i，位掩码）时遍历所有掩码

现在用DP（0，x）初始化（即简单地填充x的1位的＃） 并且使用跟随转换来填充用于i的DP（i，x）> 0：

DP(i, x) = DP(i-1,x) + { # of 1-bit of x if (Si & x == x); 0 otherwise} Si is the bitmask of the Set i, & is bitwise and operation

答案是所有x的最大DP（S-1，x）

如果有很多解决方案，这种方法可以找到所有可能的解决方案，下面是C ++中解决上述示例的示例代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;

int s[3] = {25,22,21};
int dp[5][1<<5] = {0};

int bits(int x){
    int cnt = 0;
    while(x){ cnt += (x&1); x>>=1;}
    return cnt;
}

int main() {
    for(int i=0; i< (1<<5); i++) if((s[0]&i) == i){ dp[0][i] = bits(i); }

    for(int i=1; i<3;i++)
        for(int j=0; j< (1<<5); j++){
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            if((s[i]&j) == j) {dp[i][j] = max(bits(j), dp[i-1][j]+ bits(j));      }
        }


    int x = -1;
    for(int i=0; i< (1<<5); i++){
        x = max(x, dp[2][i]);
        printf("Maximum cancelled: %d,  current DP: %d, bitmask: %d\n", x, dp[2][i], i);
    }
    return 0;
}

每当DP状态的输出等于取消的最大数量时，其位掩码就是相应的解决方案，您可以轻松转换回英文字符，即上例中的{c，e}或{a，e}

<强> EDITED ： 要回复以下评论，我尝试在此处逐个回复：

Q1。它仍然呈指数级吗？仅从指数到＃字母＃的集合转移？

A1。是的。我有这个想法，因为我认为实际上字母大小不会太大......但理论上是的，它仍然是指数时间

Q2。这个问题NP完整吗？

A2。好的，这是有趣的部分，这是我的想法，如果我错了请纠正我，我认为是NP完全。我的想法是将此问题建模为图形问题，请参见下图（裸露我糟糕的mspaint技能）

我们得到了一个二分图，并且与原始问题的意义相同，我们现在想要找到最大完整子图 - 一般图中的Clique这是一个众所周知的NP Complete问题。

然后我认为，它是一个 Bipartite Graph！也许二分图中的Clique不是NP Complete，但是感谢Google，我发现了另一个问题Complete Bipartite Graph并专注于第一个问题页面中的属性：

  

给出一个二分图，测试它是否包含完整的二分子图Ki，i对于参数i是NP完全问题。

总而言之，我认为这是NP-Complete

Q3。如何提出这样的DP解决方案？

A3。结合A1。，许多NPC问题实际上有一个伪多项式解，而O（x * 2 ^ y）是一个非常常见的形式，据我所知，一个例子是{{3可以在O（n ^ 2 * 2 ^ n）中求解。另外，如果你问自己，我在考虑这个DP解决方案时也有类似的背包问题的想法......但这与你的问题有点无关......