Question

我有x个集合，每个元素都有y个元素（未排序的整数）。我想找到这组之间的最大交叉大小。

例如：

* 5套，尺寸= 3

设置1：1 2 3

设置2：4 2 3

设置3：5 6 7

设置4：5 8 9

设置5：5 10 11

最大交点已设置1与集合2，它的大小为2; 答案是2。

所以，我可以使用HashSets在O（x ^ 2 * y）中进行，只需查看所有对并计算它们的交集大小。但我想更快地做到这一点。我认为有特定的算法或数据结构可以提供帮助。你能给我一些想法吗？

UPDATE ：x和y约为10 ^ 3，元素为int。并且没有平等集。

Answer 1

我能想到的一个优化是记住第一组和其余部分之间的交叉点大小，然后使用数据来削减一些情况。

如何使用它：

如果您设置了A，B，C长n和

intersection(A,B) = p
intersection(A,C) = q

然后

intersection(B,C) <= n - abs(p - q)

对于您的案例中的集合：

S0 = { 1 2 3 }
S1 = { 4 2 3 }
S2 = { 5 6 7 }

你计算intersection(S0,S1) = 2并记住结果：

[ i(0,1)=2 ]

然后intersection(S0,S2) = 0，所以

[ i(0,1)=2; i(0,2)=0 ]

在比较第一个元素后计算intersection(S1,S2)

(S1[0]=4 != S2[0]=5)

你可以说intersection(S1,S2) <= 2这是你迄今为止最好的结果。

可以进一步改进的是记住交叉点的更精确结果，但仍然没有计算所有交叉点。

我不确定这是不是最好的选择。也许存在完全不同的方法。

Answer 2

这是一些伪代码：

function max_intersection(vector<vector<int>> sets):
    hashmap<int, vector<set_id>> val_map;
    foreach set_id:set in sets:
        foreach val in set:
            val_map[val].push_back(set_id);
    max_count = 0
    vector<int> counts = vector<int>(size = sets.size() * sets.size(), init_value = 0);
    foreach val:set_ids in val_map:
        foreach id_1:set_id_1 in set_ids:
            foreach id_2:set_id_2 in set_ids where id_2 > id_1:
                count = ++counts[set_id_1 * sets.size() + set_id_2];
                if (count > max_count):
                    max_count = count;
    return max_count;

因此，如果X是集合数，Y是每个集合中的元素数量：

插入val_map O(X*Y)
创建counts并将每个元素初始化为零是O(X^2)
如果没有交叉点（每个值恰好出现一次），则最后一个循环在时间O(X*Y)中运行。但是，在另一个极端，如果有大量的交叉点（所有集合都是等价的），则最后一个循环在O(X^2*Y)中运行。

因此，根据交叉点的数量，时间复杂度介于O(X*Y + X^2)和O(X^2*Y)之间。

Answer 3

我无法想出能够改善O(x*x*y)的解决方案，但我可以建议一种避免散列的方法，而不是预期的复杂性 O(x*x*y)，以便具有复杂性{{ 1}}以10 ^ 6额外内存为代价。查看您提供的限制，您将拥有不超过10 ^ 6个不同的数字。所以我的想法如下 - 对所有数字进行排序，然后将它们唯一（删除重复数据）。为每个数字分配1到10 ^ 6（或唯一数字的数量）的唯一编号（使用它们在已排序和未组合数组中的顺序）。之后，而不是每对的hashmap，使用大小为10 ^ 6的位集。这样，您将具有O(x*x*y)的特定复杂度（因为我建议的预计算具有复杂性O(x*x*y)）。

n个集合之间的最大交集

3 个答案: