Question

我需要在-1/2的幂上计算矩阵 A ，这基本上意味着初始矩阵的平方根的倒数。

如果A是单数，则使用MASS包中的 ginv 函数计算Moore-Penrose广义逆，否则使用求解函数计算常规逆。

矩阵A定义如下：

A <- structure(c(604135780529.807, 0, 58508487574887.2, 67671936726183.9, 
            0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 58508487574887.2, 0, 10663900590720128, 
            10874631465443760, 0, 0, 67671936726183.9, 0, 10874631465443760, 
            11315986615387788, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1), .Dim = c(6L, 
                                                                                   6L))

我通过比较等级和维度来检查奇点。

rankMatrix(A) == nrow(A)

上面的代码返回FALSE，所以我必须使用 ginv 来获得反转。 A的倒数如下：

A_inv <- ginv(A)

使用expm包中的sqrtm函数计算逆矩阵的平方根。

library(expm)
sqrtm(A_inv)

该函数返回以下错误：

solve.default（X [ii，ii] + X [ij，ij]，S [ii，ij] - sumU）出错：

Lapack例程zgesv：系统完全是单数

那么在这种情况下我们如何计算平方根？请注意，矩阵A并不总是单数，因此我们必须为此问题提供一般解决方案。

Answer 1

您的问题涉及两个不同的问题：

矩阵的反转
矩阵的平方根

<强>反

奇异矩阵不存在逆。在一些应用中，Moore-Penrose或一些其他广义逆可以作为逆的合适替代。但请注意，计算机数字在大多数情况下会出现舍入错误;这些错误可能会使单个矩阵在计算机上显得规则，反之亦然。

如果A总是展示你给出的矩阵的块结构，我建议只考虑它的非对角块

A3 = A[ c( 1, 3, 4 ), c( 1, 3, 4 ) ]

A3
             [,1]         [,2]         [,3]
[1,] 6.041358e+11 5.850849e+13 6.767194e+13
[2,] 5.850849e+13 1.066390e+16 1.087463e+16
[3,] 6.767194e+13 1.087463e+16 1.131599e+16

代替所有A，以提高效率和减少舍入问题。其余的1对角线条目在平方根的倒数中保持为1，因此不需要使用它们来混淆计算。为了了解这种简化的影响，请注意R可以计算

A3inv = solve(A3)

虽然无法计算

Ainv = solve(A)

但是我们不需要A3inverse，下面将会明白。

平方根

作为一般规则，矩阵A的平方根仅在矩阵具有对角Jordan正规形式（https://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_normal_form）时才存在。因此，根据需要，没有真正普遍的问题解决方案。

A3 = T·J·T -1

可以用R计算：

X = eigen(A3)
T = X$vectors
J = Diagonal( x=X$values )

要测试此配方，请比较

Tinv = solve(T)
T %*% J %*% Tinv

A3。如果A3具有对角Jordan正规形式，它们应匹配（最多为舍入误差）。

由于J是对角线，因此它的平方根只是平方根的对角矩阵

Jsqrt = Diagonal( x=sqrt( X$values ) )

以便Jsqrt·Jsqrt = J。而且，这意味着

（T·Jsqrt·T -1）²= T·Jsqrt·T -1·T·Jsqrt·T -1 = T·Jsqrt·Jsqrt·T -1 = T·J·T -1 = A3 < / p>

所以我们实际上得到了

√A3= T·Jsqrt·T -1

或在R代码中

A3sqrt = T %*% Jsqrt %*% Tinv

要测试此，请计算

A3sqrt %*% A3sqrt

并与A3进行比较。

反向的平方根

一旦计算出对角Jordan正规形式，就可以容易地计算逆的平方根（或者，同样地，平方根的倒数）。而不是J使用

Jinvsqrt = Diagonal( x=1/sqrt( X$values ) )

并计算，类似于上面，

A3invsqrt = T %*% Jinvsqrt %*% Tinv

并观察

A3·A3invsqrt²= ... = T·（J /√J/√J）·T -1 = 1

单位矩阵，以便A3invsqrt是所需的结果。

如果A3不可逆，可以通过将Jinvsqrt中的所有未定义条目替换为0来计算广义逆（不一定是Moore-Penrose），但如上所述，这应该通过根据整体应用及其对圆角误差的稳定性进行适当的护理。

如果A3没有对角Jordan正规形式，则没有平方根，因此上述公式将产生一些其他结果。为了在运气不好的情况下不遇到这种情况，最好实施一项测试是否

A3invsqrt %*% A3 %*% A3invsqrt

足够接近你认为的1矩阵（这只适用于A3首先是可逆的）。

PS：请注意，您可以根据自己的喜好为Jinvsqrt的每个对角线条目添加符号±前缀。

R中奇异矩阵的平方根

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