Question

我正试图取矩阵的平方根。这是找到矩阵B所以B*B=A。我找到的所有方法都没有给出有效的结果。

首先我在Wikipedia上找到了这个公式：

设置Y_0 = A和Z_0 = I然后迭代：

Y_{k+1} = .5*(Y_k + Z_k^{-1}),

Z_{k+1} = .5*(Z_k + Y_k^{-1}).

然后Y应收敛到B。

然而在python中实现算法（使用numpy for inverse matrices），给了我垃圾结果：

>>> def denbev(Y,Z,n):
    if n == 0: return Y,Z
    return denbev(.5*(Y+Z**-1), .5*(Z+Y**-1), n-1)

>>> denbev(matrix('1,2;3,4'), matrix('1,0;0,1'), 3)[0]**2
matrix([[ 1.31969074,  1.85986159],
        [ 2.78979239,  4.10948313]])

>>> denbev(matrix('1,2;3,4'), matrix('1,0;0,1'), 100)[0]**2
matrix([[ 1.44409972,  1.79685675],
        [ 2.69528512,  4.13938485]])

正如你所看到的，迭代100次，得到更差的结果而不是迭代三次，并且没有一个结果在40％的误差范围内。

然后我尝试了scipy sqrtm方法，但情况更糟：

>>> scipy.linalg.sqrtm(matrix('1,2;3,4'))**2
array([[ 0.09090909+0.51425948j,  0.60606061-0.34283965j],
       [ 1.36363636-0.77138922j,  3.09090909+0.51425948j]])

>>> scipy.linalg.sqrtm(matrix('1,2;3,4')**2)
array([[ 1.56669890+0.j,  1.74077656+0.j],
       [ 2.61116484+0.j,  4.17786374+0.j]])

我不太了解矩阵平方根，但我认为必须有比上述更好的算法？

Answer 1

（1）矩阵[1,2; 3,4]的平方根应该给出一些复杂的东西，因为该矩阵的特征值是负的。所以你的解决方案一开始就不正确。

（2）linalg.sqrtm返回一个数组，而不是一个矩阵。因此，使用*乘以它们并不是一个好主意。在您的情况下，解决方案是正确的，但您没有看到它。

编辑尝试以下操作，您会看到它是正确的：

asmatrix(scipy.linalg.sqrtm(matrix('1,2;3,4')))**2

Answer 2

你的矩阵[1 2; 3 4]不是正数，因此在真实矩阵的领域中没有解决问题的方法。

Answer 3

你正在做的矩阵平方根的目的是什么？我怀疑实际应用矩阵确实可以是对称正定（例如协方差），所以你不应该遇到复数。

在这种情况下，您可以计算一个cholesky分解，如缩放LU分解，请参见此处：http://en.wikipedia.org/wiki/Cholesky_decomposition

另一个实际的例子是，如果你的矩阵是旋转，那么你可以先用矩阵日志进行分解，然后在日志空间中除以2，然后用矩阵指数返回旋转...无论如何你听起来很奇怪要求'通用矩阵平方根'，您可能希望更深入地了解具体应用。

工作矩阵平方根

3 个答案: