Question

（所讨论的所有数字均为十进制）

假设我们有一个浮点数据类型，如：

m * 10 ^ e

where m is the mantissa . and max mantissa size is 1 ( 0 <= m <= 9);

e is the exponent and its size is  -1 <= e <= 1

我们说我们的数据类型Max值是90，其Min值是0

但是，这并不意味着我们可以代表这个限制中的所有数字。我们只能代表不包括零的27个数字（9 * 3）。

具体而言，我们不能以这种方式表示89，因为它有两位数的尾数（并且它们不为零）。

技术上类似于上面的描述。在float数据类型（在任何编程语言中）中，Max和Min值之间必须有一些整数，我们不能将它们存储在float数据类型中。

是上面的论证声音。如果是，请举例说明如何在java或c中显示这个？

Answer 1

你的推理完全合情合理。最容易展示的就是例子，就像你做的那样。

不可表示的例子

考虑IEEE-754定义的“通常单浮点”格式，它有7个指数位，因此范围超出[-2^127,2^127]。

它还有24个尾数位，所以让我们考虑一下这些数字分别为2 ^ 26,2 ^ 26 + 1和2 ^ 26 + 2.

尝试将它们标准化以便以浮点格式编写它们，您将看到

尾数获得价值26
第一位消失，因为它在IEEE-754格式中是隐含的，第一个数字总是* 1，所以每个数字都留有25位
所有下一位（限制为24位）组成尾数......
- 67108864在其尾数中只有零，因为它的最小位为0，您可以删除它而不会丢失信息。
- 67108866在其尾数的最后位置有1，因为它的最小位也是0，你仍然可以删除它而不会丢失信息。
- 67108865只有0和1作为最小位，超过24位！因此，数字将四舍五入为2 ^ 26或2 ^ 26 + 2。

因此，您有一个例子，如89：67108865在浮点数中无法表示。

*除了次正规，见下文（扩展评论）

偏置

我确实在这里跳过了一部分。指数不是直接编码在保留的位中，而是偏置。在单浮点的情况下，偏差为127。

所以我们的26实际上由26 + 127表示，因此153.从维基百科窃取下面的图像：

如果您在编写这些数字（符号，指数和尾数）时想要表示非次正规数，则得到：（ - 1）^sign * 2 ^{（ exponent-127）} * 1.mantissa

一旦我们达到可能的最小指数，即一旦我们将其写为0并且意味着-127，我们就停止假设初始1.这样，我们可以表示小于2的数字^-127 （通过牺牲精度，因为我们将在尾数上有前导0。）

然后我们有：（ - 1）^sign * 2 ^-127 * 0.mantissa

特别是，当尾数全为0时，我们有0，这是预期的：现在，在其二进制表示中只有0的数字被读为0.在某种程度上，0是次正规数中最小的（虽然在实践中人们认为它本身就是一个特例。

其他特殊情况是指数为1时。如果尾数全是0，那么你有+/-无穷大（取决于符号），如果设置了一些尾数位，你就有NaN。

Answer 2

是的，您的推理是合理的，并且应该很容易找到无法在您的数据类型中表示的实数。

考虑允许的最小尾数（0）和指数（-1）：

0 * 10 ^ -1

= 0.0

你允许的下一个更高的尾数是1：

1 * 10 ^ -1

= 0.1

您不能表示介于0.0和0.1之间的任何实数，例如0.05。

您应该能够用Java或C表达它。