python-带阶跃响应的卷积

Question

我想计算这个积分$ \ frac {1} {L} \ int _ { - \ infty} ^ {t} H（t ^ {'}）\ exp（ - \ frac {R} {L}（ tt ^ {'}））dt ^ {'} $使用numpy.convolution，其中$ H（t）$是较重的函数。我应该把它等于$ \ exp（ - \ frac {R} {L} t）H（t）$ 以下是我的所作所为， 我通过改变变量乘以不同的H（t）将积分的限制改为-inf到+ inf然后我用它作为我的函数与H（t）（积分内的一个）卷积，但是输出图绝对不是exp函数，我也没有在我的代码中发现任何错误，请帮助，任何提示或建议都将不胜感激！

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
R = 1e3 
L = 3. 

delta = 1
Nf = 100
Nw = 200
k = np.arange(0,Nw,delta)
dt = 0.1e-3 
tk = k*dt
Ng = Nf + Nw -2
n = np.arange(0,Nf+Nw-1,delta)
tn = n*dt

#define H
def H(n):
    H = np.ones(n)
    H[0] = 0.5
    return H

#build ftns that get convoluted
f = H(Nf)
w = np.exp((-R/L)*tk)*H(Nw)

#return the value of I
It = np.convolve(w,f)/L

#return the value of Voutput, b(t)
b = H(Ng+1) - R*It
plt.plot(tn,b,'o')
plt.show()

Answer 1

您的代码的问题不是编程，而是概念。将积分重写为积分[HeavisideTheta [t-t'] * Exp [-R / L * t']， - Inf，t]（即Mathematica代码），经检查发现H（t-t'）总是1在限制范围内（除了t'= t，这是积分限制......但这并不重要）。所以实际上你实际上并没有完成一个完整的卷积...你基本上只占了卷积的一半（或三分之一）。

如果你认为卷积是反转一个序列，然后一次转移并将其全部添加（参见http://en.wikipedia.org/wiki/Convolution#Derivations - 卷积的视觉解释）那么你想要的是中间的一半......即只有当它们重叠时。您不希望导入（第4个图表向下：http://en.wikipedia.org/wiki/File:Convolution3.svg）。你确实想要引出。

现在，修复代码的最简单方法是：

#build ftns that get convoluted
f = H(Nf)
w = np.exp((-R/L)*tk)*H(Nw)

#return the value of I
It = np.convolve(w,f)/L
max_ind = np.argmax(It)
print max_ind
It1 = It[max_ind:]

导入是唯一一次卷积积分（在我们的情况下技术上总和）增加...因此在导入完成后卷积积分跟随Exp [-x] ...所以你告诉python只有在达到最大值后才能取值。

#return the value of Voutput, b(t)现在完美无缺！

注意：由于您需要引出线，因此无法使用np.convolve(a,b, mode = 'valid')。

所以It1看起来像：

b（t）使用It1看起来像：

你无法将exp（-x）作为一般形式，因为b（t）的等式由1 - R * exp（-x）给出......它无法在数学上遵循exp（-x）形式。此时有三件事：

1. 这些单位真的没有意义......检查一下。 Heaviside函数为1，R * It1约为10,000。我不确定这是一个问题，但为了以防万一，标准化曲线看起来像这样：

2. 如果您使用b（t）= R * It1 - H（t），您可以获得exp（-x）表单...此处的代码在此处（您可能必须根据您的规范进行规范化）需要）：

   b = R*It1 - H(len(It1))
   # print len(tn)
   plt.plot(tn[:len(b)], b,'o')
   plt.show()
   

情节如下：

1. 您的问题可能仍未解决，在这种情况下，您需要解释您认为错误的内容。有了你给我的信息......除非b（t）的等式被搞乱，否则b（t）永远不会有Exp [-x]形式。因为它代表你的原始代码It1在形式中遵循Exp [-x]但是b（t）不能。

Answer 2

我认为这里有一些关于卷积的混淆。我们在时域中使用卷积来计算线性系统对任意输入的响应。为此，我们需要知道系统的脉冲响应。小心在连续和离散系统之间切换 - 参见例如http://en.wikipedia.org/wiki/Impulse_invariance

系统的（连续）脉冲响应（我假设为LR电路的电阻器电压）我为方便起见定义了时间t：IR = lambda t: (R/L)*np.exp(-(R/L)*t) * H。< / p>

我还假设您的输入是Heaviside阶跃函数，我在时间间隔[0,1]上定义了0.001秒的时间步长。

当我们（离散地）卷积时，我们有效地翻转一个函数并沿着另一个函数滑动它，乘以相应的值然后取总和。为了使用具有阶梯函数的连续脉冲响应，该阶跃函数实际上包括一系列Dirac delta函数，我们需要将连续脉冲响应乘以时间步长dt，如上面关于脉冲不变性的Wikipedia链接中所述。注意 - 设置H[0] = 0.5也很重要。

我们可以在下面看到这个操作。任何给定的红色标记代表给定时间t的响应，并且是＆＃34; sum-product＆＃34;绿色输入和翻转的脉冲响应向右移动t。我试图用一些灰色的脉冲反应来证明这一点。

进行计算的代码在这里。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

R = 1e3     # Resistance
L = 3.      #Inductance
dt = 0.001  # Millisecond timestep

# Define interval 1 second long, interval dt
t = np.arange(0, 1, dt)

# Define step function
H = np.ones_like(t)
H[0] = 0.5              # Correction for impulse invariance (cf http://en.wikipedia.org/wiki/Impulse_invariance)

# RL circuit - resistor voltage impulse response (cf http://en.wikipedia.org/wiki/RL_circuit)
IR = lambda t: (R/L)*np.exp(-(R/L)*t) * H # Don't really need to multiply by H as w is zero for t < 0
# Response of resistor voltage
response = np.convolve(H, IR(t)*dt, 'full')

制作情节的额外代码在这里：

# Define new, longer, time array for plotting response - must be same length as response, with step dt
tp = np.arange(len(response))* dt

plt.plot(0-t, IR(t), '-', label='Impulse response (flipped)')

for q in np.arange(0.01, 0.1, 0.01):
    plt.plot(q-t, IR(t), 'o-', markersize=3, color=str(10*q))
t  = np.arange(-1, 1, dt)
H = np.ones_like(t)
H[t<0] = 0.
plt.plot(t, H, 's', label='Unit step function')
plt.plot(tp, response, '-o', label='Response')
plt.tight_layout()
plt.grid()
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Voltage (V)')
plt.legend()
plt.show()

最后，如果你仍然对卷积有一些困惑，我强烈推荐＆＃34;数字信号处理：工程师和科学家的实用指南＆＃34;作者：Steven W. Smith。