Question

我在Skiena的算法设计手册中读到了关于Big Oh符号的内容，并且遇到了O（2 ⁿ）的以下解释：

指数函数：枚举n个项目的所有子集时，会出现类似2 ⁿ的函数。

这就具体例子而言意味着什么？

假设我有集合：{1,2,3,4}（因此n = 4），这意味着（根据Skiena的定义）子集数量 2 ⁴ 这是16个子集。我无法弄清楚这16个子集是什么。

关系 2 ⁿ 中的2是否意味着子集的大小限制为2？

编辑：我想我要问的部分是，为什么 2 ⁿ 而不是 3 ⁿ 例如？这对我来说根本不直观。

Answer 1

以下是{1, 2, 3, 4}的所有有效子集的列表：

{}                                           1

{1}, {2}, {3}, {4}                        +  4

{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}  +  6

{1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}        +  4

{1,2,3,4}                                 +  1

                                          = 16

计数为2ⁿ而不是3ⁿ的原因是要创建子集，您可以想象通过每个元素并做出决定“是否是子集中的元素？”

也就是说，您为每个n元素选择两种可能性（in和out），因此做出此决定的方式总数（以及子集的总数）是

    2 * 2 * 2 * .... * 2
    \________  ________/
             \/
           n times

是2ⁿ。

Answer 2

0个元素的一个子集：{}
1个元素的四个子集：{1} {2} {3} {4}
2个元素的六个子集：{1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4}
3个元素的四个子集：{1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4}
4个元素的一个子集{1,2,3,4}

总计子集因此是十六。

2中的2ⁿ只是意味着“工作量”与n的指数函数成比例上升。这甚至比n²更糟糕，它只是随着方格而上升。

这组有限集的所有集合称为power set，如果确实想知道它为2ⁿ的原因，那么该页面的属性部分说明：

我们以S格式编写{X₁, X₂, ..., X_n}的任何子集，其中X_i,1<=i<=n可以取0或1的值。如果X_i = 1，则i的{{1}}元素位于子集中;否则，S - 元素不在子集中。显然，可以用这种方式构造的不同子集的数量是i。

基本上，外行人的意思是，在给定的子集中，每个元素可以存在或不存在。因此，可能性的数量类似于您使用2ⁿ - 位二进制数字所看到的。

对于一位，有两种可能性n，相当于具有子集0/1的集合{a}。

对于两位，四种可能性{} {a}，相当于具有子集00/01/10/11的集合{a,b}。

对于三位，八种可能性{} {a} {b} {a,b}，相当于具有子集000/001/010/011/100/101/110/111的集合{a,b,c}。

依此类推，包括四个元素的下一步，提供十六种可能性，如上所述。

Big O（2 ^ n）的这种解释是什么意思？

2 个答案: