模块化算术

Question

我是密码学和模块化算术的新手。所以，我确定这是一个愚蠢的问题，但我无法帮助它。

如何从中计算 a pow（ a ， q ）= 1（mod p ），
哪里有 p 和 q ？我没有得到“1（mod p ）”部分，它等于1，不是吗？如果是这样，那么“mod p ”是什么？
这和
是一样的吗 pow（ a ， -q ）（mod p ）= 1？

Answer 1

（mod p）部分不是指右侧，而是指等号：它表示 modulo p，pow（a，q）和1相等。例如，“模10,246126和7868726相等”（并且它们也等于6模10）：两个数字x和y等于模p，如果它们在除以p时具有相同的余数，或者等价地，如果p除以xy。

由于你似乎是从编程角度来看，另一种说法是pow（a，q）％p = 1，其中“％”是以多种语言实现的“余数”运算符（假设p为H. 1）

你应该阅读关于Modular arithmetic的维基百科文章，或任何基本数论理论书（甚至是加密书，因为它可能会引入模运算）。

回答你的另一个问题：一般来说，没有找到这样的 a （据我所知）的一般公式。假设p是素数，并使用Fermat's little theorem来减少q模p-1，并假设q除p-1（或者没有这样的 a 存在），你可以产生这样的 a 通过取primitive root p并将其提升到幂（p-1）/ q。 [更一般地说，当p不是素数时，你可以减少q模数φ（p），然后假设它除了φ（p）并且你知道一个原始根（比如说r）mod p，你可以将r取为r的幂φ（p）/ q，其中φ是the totient function - 这来自Euler's theorem。]

Answer 2

根本不是愚蠢，因为这是公钥加密的基础。您可以在http://home.scarlet.be/~ping1339/congr.htm#The-equation-a%3Csup%3Ex.

找到一个很好的讨论

PKI的工作原理是选择大p和q p。一个（说q）成为您的私钥，另一个（p）是您的公钥。如果攻击者猜测a，给定q q （加密邮件）和a（您的公钥），则加密“已损坏”

所以，回答你的问题：

  

q p = 1 mod a

这意味着q p 是一个除以a时余数为1的数字。我们不关心商的整数部分，所以我们可以写：

  

q p / n = p + 1 / n

任何整数值p 。如果我们将等式的两边乘以a，我们就得到：

  

q np = a + 1

解决a我们：

  

np =（q + 1） ^{1 / n}

最后一步是找到生成a原始值的{{1}}值。除了反复试验之外，我不知道有什么方法可以做到这一点 - 这相当于“蛮力”试图打破加密。