我有一个带有正边权重的有向无环图。它有一个源和一组目标（距离源最远的顶点）。我找到了从源到每个目标的最短路径。其中一些路径重叠。我想要的是一个最短路径树，它最小化所有边缘的权重总和。
例如，考虑两个目标。如果所有边缘权重相等，如果它们在大多数长度上共享一条最短路径，则优于两条大多数非重叠的最短路径（树中较少的边等于较低的总成本）。
另一个例子：两条路径长度的一小部分不重叠，非重叠路径的成本高，但长共享路径的成本低（组合成本低）。另一方面，两条路径在其大部分长度上不重叠，非重叠路径的成本低，但短共享路径的成本高（同样，组合成本低）。有很多种组合。考虑到从源到目标的所有最短路径，我想找到总体成本最低的解决方案。
换句话说，我想要最短，最短的路径树。
这会和任何人敲响吗？有人能指出我相关的算法或类似的应用程序吗？
干杯！
答案 0 :(得分：2)
这个问题（Steiner Tree）是NP-hard和最大SNP完全，因此既没有多项式时间算法也没有PTAS（任意近似近似），除非P = NP。
除非您知道图表的某些特殊功能（例如图表是平面的，或者至少权重服从三角形不等式），否则MST可以任意比任意更差的权重。例如，如果您的K_1,000,000,001具有所有边权重1且仅有一个目标，则最佳解决方案的权重为1，而MST的权重为1,000,000,000。
如果假设目标与源和每个目标之间的所有边之间存在所有边，则仍然可以按任意因子超调。考虑上面的例子，但是将目标和来源之间的边缘权重改为2,000,000,000,000,000,000（你仍然偏离最优的10亿倍）。
当然，您可以通过遍历图形将图形转换为“移除”时间为O（E）左右的边缘权重。加上一组目标和源的MST得出近似比为2.
存在更好的近似比率。罗宾斯＆amp; Zelikovsky有一个多项式时间算法，比最佳值差54.24％： http://www.cs.virginia.edu/~robins/papers/soda2000_camera.pdf
Chlebik＆amp; Chlebikova表明近似接近1.05％是NP难的：The Steiner tree problem on graphs: Inapproximability results （doi 10.1.1.4.1339）
如果您的图表是平面的，情况会更好。由于Borradaile，Kenyon-Mathieu＆amp; amp;和快速算法，它具有任意近似的近似值。 Klein（建立在Erickson，Monma和Veinott上）：An O(nlogn) approximation scheme for Steiner tree in planar graphs （doi 10.1.1.133.4154）
答案 1 :(得分：1)
如果您只有正成本而且最小化，请使用Dijkstra's algorithm。