Question

这是我上一个问题的后续问题：Multiple Typeclass Inheritance in Coq，但这是关于期望不同种类的类型类型（用Haskell术语，我猜？）。

我有一个类型类Collection，它需要一个Type -> Type和一个类型类Monoid，它需要一个Type，而且我认为我知道如何调和它们，但我和＃39;我在使用Monoid函数时遇到问题。

Class Sequence (S : Type -> Type)
  foldr empty insert append
  `{C : Collection S foldr empty insert}
  `{M : Monoid (forall A, S A) append empty} :=
{
  insert_append_id :
    forall (A : Type) (h : S A) (x : A),
    append A (insert A x (empty A)) h = insert A x h
}.

（裁减）错误是：

Error:
In environment
Sequence :
forall (S : Type -> Type)
  (append : (forall A : Type, S A) ->
            (forall A : Type, S A) -> forall A : Type, S A)
[...]
S : Type -> Type
empty : forall A : Type, S A
append :
(forall A : Type, S A) -> (forall A : Type, S A) -> forall A : Type, S A
[...]
M : Monoid (forall A : Type, S A) append empty
A : Type
h : S A
x : A
The term "A" has type "Type" while it is expected to have type
 "forall A : Type, S A".

我认为我非常聪明，想要在Monoid继承中获得(forall A, S A)，但现在我不太确定。 Monoid empty的类型看起来是正确的，但append的类型对我没有任何意义。

在我看来，我或者使用Monoid继承类型犯了一个错误，或者有一些方法可以添加我没有看到的正确类型。或者在其他地方是否存在导致此问题的错误？

<小时/>

编辑：我想出了一个看起来更接近我想要的Monoid声明，但仍然不起作用。

Class Sequence (S : Type -> Type)
  foldr empty insert (append : forall A, S A -> S A -> S A)
  `{C : Collection S foldr empty insert}
  `{M : forall (A : Type), Monoid (S A) (append A) (empty A)} :=
{
  insert_append_eq :
    forall (A : Type) (h : S A) (x : A),
    append A (insert A x (empty A)) h = insert A x h
}.

新错误：

Error:
Could not find an instance for "Semigroup (S A) (append A)" in environment:

S : Type -> Type
foldr : forall A B : Type, (A -> B -> B) -> B -> S A -> B
empty : forall A : Type, S A
insert : forall A : Type, A -> S A -> S A
append : forall A : Type, S A -> S A -> S A
F : Foldable S foldr
U : Unfoldable S empty insert
C : Collection S foldr empty insert
A : Type

Answer 1

在对这个问题进行了几天的讨论之后，我有不同类型的类型类继承，据我所知，这是正确的。

我在问题更新中走在正确的轨道上。我需要做的就是添加Semigroup的显式继承。我仍然不确定为什么它从collection继承隐式继承可折叠和可展开时必须是显式的。也许这是因为作为遗产的一部分。

另外，我了解到包含类型声明中的函数是不正确的，或者至少是不必要的。我通过阅读Coq和Coq paper中类词类作者的reference manual找到了。（如果向下滚动到EqDec类型类，则会在大括号中看到eqb已键入。）

所以，这就是我的Sequence类型类现在的样子：

Class Sequence (S : Type -> Type) `{C : Collection S} `{G : forall (A : Type), Semigroup (S A)} `{M : forall (A : Type), Monoid (S A)} := { insert_append_eq : forall (A : Type) (h : S A) (x : A), op (insert A x (empty A)) h = insert A x h }.

为了确保这实际上正确创建了类型类，我定义了一个List类型并使其成为Sequence的一个实例。不幸的是，这涉及首先使它成为每个父类型类的实例。我想知道是否有更简单的方法。

并且只是包含更多代码示例，因为我发现它们比自然语言解释更容易理解，这里是我的Semigroup类型类和它的List实例：

Class Semigroup (S : Type) := { op : S -> S -> S; semigroup_assoc : forall x y z : S, op x (op y z) = op (op x y) z }. Inductive List (A : Type) : Type := | Nil : List A | Cons : A -> List A -> List A . Instance semigroup_list : forall A, Semigroup (List A) := { op := fix append l l' := match l with | Nil => l' | Cons x xs => Cons A x (append xs l') end }. Proof. intros. induction x. apply eq_refl. rewrite IHx. apply eq_refl. Defined.

感谢你的帮助，Perce。这听起来很有意思，但你的答案是如此令人失望，我不得不弄清楚你是否真的错了。：）

Answer 2

不，幺半群是应用于特定S的特定A。你不能进一步概括它。下面的代码应该可以工作，虽然我无法测试它。

Class Sequence (S : Type -> Type) (A : Type)
  foldr empty insert append
  `{C : Collection S foldr empty insert}
  `{M : Monoid (S A) (append A) (empty A)} :=
{
  insert_append_id :
    forall (h : S A) (x : A),
    append _ (insert _ x (empty _)) h = insert _ x h
}.

或者，您可以使用不同类型的幺半群。

Class Mon (F : Type -> Type) (mul : forall X, F X -> F X -> F X)
  (one : forall X, F X) : Type :=
{
  idl : forall X x, mul X (one X) x = x;
  idr : forall X x, mul X x (one X) = x;
  asc : forall X x y z, mul X x (mul X y z) = mul X (mul X x y) z;
}.

在Coq中继承不同类型的类别

2 个答案: