为什么Verlet集成比Euler集成更好？

Question

有人可以向我解释为什么Verlet集成比Euler集成更好吗？为什么RK4比Verlet更好？我不明白为什么这是一个更好的方法。

Answer 1

Verlet方法擅长模拟具有节能的系统，原因是它是辛的。为了理解这个陈述，您必须将模拟中的时间步骤描述为将状态空间映射到自身的函数f。换句话说，每个时间步都可以写在下面的表格上。

（x（t + dt），v（t + dt））= f（x（t），v（t））

Verlet方法的时间步长函数f具有保留状态空间音量的特殊属性。我们可以用数学术语来写这个。如果状态空间中有一组状态A，则可以通过

定义f（A）

f（A）= {f（x）| for a in A}

现在让我们假设集合A和f（A）是平滑的，所以我们可以定义它们的体积。然后，辛映射f将始终满足f（A）的体积与A的体积相同（并且这将适用于A的所有良好和平滑的选择）。这是通过Verlet方法的时间步长函数来实现的，因此Verlet方法是一种辛方法。

现在最后一个问题是。为什么辛方法适用于模拟节能系统，但我担心你必须阅读一本书才能理解这一点。

Answer 2

Euler method是一阶积分方案，即总误差与步长成比例。但是，它可能在数值上不稳定，换句话说，累积的误差可能会压倒计算，从而导致无意义。请注意，无论步长大小或系统是否为线性，都会出现这种不稳定性。我不熟悉verlet集成，所以我不能说它的功效。但是，Runge-Kutta methods与欧拉方法的不同之处不仅仅是步长。

从本质上讲，它们基于一种更好的数值近似导数的方法。目前准确的细节让我感到惊讶。一般来说，四阶Runge-Kutta方法被认为是集成方案的主力，但确实有一些disadvantages。它略微耗散，即在计算中加入一个小的一阶导数依赖项，类似于增加的摩擦力。此外，它具有固定的步长，这可能导致难以达到您想要的精度。或者，您可以使用自适应步长方案，如Runge-Kutta-Fehlberg method，它为另外6个函数评估提供了五阶精度。这可以大大减少执行计算所需的时间，同时提高准确性，如here所示。

Answer 3

如果一切都以线性方式顺应进行，那么使用什么方法并不重要，但是当一些有趣的东西（即非线性）发生时，你需要仔细观察，要么通过直接考虑非线性（verlet）或采用较小的时间步长（rk4）。