Question

我只是在游戏中测试几种轨道动力学的集成方案。我在这里采用了RK4，并采用了自适应步骤 http://www.physics.buffalo.edu/phy410-505/2011/topic2/app1/index.html

我将它与简单的verlet集成（和euler，但它的性能非常差）进行了比较。似乎RK4具有恒定步长优于verlet。具有自适应步骤的RK4更好，但不是那么多。我想知道我做错了什么？或者说在哪种意义上说RK4比verlet要好得多？

我们认为Force的每个RK4步骤评估为4x，但每个verlet步骤只评估1x。所以为了获得相同的性能，我可以为verlet设置更小的time_step 4x。时间步长小4倍，比RK4更精确，步长恒定，几乎可与RK4相比，具有自适应步骤。

查看图片： https://lh4.googleusercontent.com/-I4wWQYV6o4g/UW5pK93WPVI/AAAAAAAAA7I/PHSsp2nEjx0/s800/kepler.png

10T意味着10个轨道周期，以下数字48968,7920,48966是需要的力量评估数量

python代码（使用pylab）如下：

from pylab import * 
import math

G_m1_plus_m2 = 4 * math.pi**2

ForceEvals = 0

def getForce(x,y):
    global ForceEvals
    ForceEvals += 1
    r = math.sqrt( x**2 + y**2 )
    A = - G_m1_plus_m2 / r**3
    return x*A,y*A

def equations(trv):
    x  = trv[0]; y  = trv[1]; vx = trv[2]; vy = trv[3];
    ax,ay = getForce(x,y)
    flow = array([ vx, vy, ax, ay ])
    return flow

def SimpleStep( x, dt, flow ):
    x += dt*flow(x)

def verletStep1( x, dt, flow ):
    ax,ay = getForce(x[0],x[1])
    vx   = x[2] + dt*ax; vy   = x[3] + dt*ay; 
    x[0]+= vx*dt;        x[1]+= vy*dt;
    x[2] = vx;        x[3] = vy;

def RK4_step(x, dt, flow):    # replaces x(t) by x(t + dt)
    k1 = dt * flow(x);     
    x_temp = x + k1 / 2;   k2 = dt * flow(x_temp)
    x_temp = x + k2 / 2;   k3 = dt * flow(x_temp)
    x_temp = x + k3    ;   k4 = dt * flow(x_temp)
    x += (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6

def RK4_adaptive_step(x, dt, flow, accuracy=1e-6):  # from Numerical Recipes
    SAFETY = 0.9; PGROW = -0.2; PSHRINK = -0.25;  ERRCON = 1.89E-4; TINY = 1.0E-30
    scale = flow(x)
    scale = abs(x) + abs(scale * dt) + TINY
    while True:
        x_half = x.copy();  RK4_step(x_half, dt/2, flow); RK4_step(x_half, dt/2, flow)
        x_full = x.copy();  RK4_step(x_full, dt  , flow)
        Delta = (x_half - x_full)
        error = max( abs(Delta[:] / scale[:]) ) / accuracy
        if error <= 1:
            break;
        dt_temp = SAFETY * dt * error**PSHRINK
        if dt >= 0:
            dt = max(dt_temp, 0.1 * dt)
        else:
            dt = min(dt_temp, 0.1 * dt)
        if abs(dt) == 0.0:
            raise OverflowError("step size underflow")
    if error > ERRCON:
        dt *= SAFETY * error**PGROW
    else:
        dt *= 5
    x[:] = x_half[:] + Delta[:] / 15
    return dt    

def integrate( trv0, dt, F, t_max, method='RK4', accuracy=1e-6 ):
    global ForceEvals
    ForceEvals = 0
    trv = trv0.copy()
    step = 0
    t = 0
    print "integrating with method: ",method," ... "
    while True:
        if method=='RK4adaptive':
            dt = RK4_adaptive_step(trv, dt, equations, accuracy)
        elif method=='RK4':
            RK4_step(trv, dt, equations)
        elif method=='Euler':
            SimpleStep(trv, dt, equations)
        elif method=='Verlet':
            verletStep1(trv, dt, equations)
        step += 1
        t+=dt
        F[:,step] = trv[:]
        if t > t_max:
            break
    print " step = ", step


# ============ MAIN PROGRAM BODY =========================

r_aphelion   = 1
eccentricity = 0.95
a = r_aphelion / (1 + eccentricity)
T = a**1.5
vy0 = math.sqrt(G_m1_plus_m2 * (2 / r_aphelion - 1 / a))
print " Semimajor axis a = ", a, " AU"
print " Period T = ", T, " yr"
print " v_y(0) = ", vy0, " AU/yr"
dt       = 0.0003
accuracy = 0.0001

#                 x        y     vx  vy
trv0 = array([ r_aphelion, 0,    0, vy0 ])             

def testMethod( trv0, dt, fT, n, method, style ):
    print " "
    F = zeros((4,n));
    integrate(trv0, dt, F, T*fT, method, accuracy);
    print "Periods ",fT," ForceEvals ",  ForceEvals
    plot(F[0],F[1], style ,label=method+" "+str(fT)+"T "+str(  ForceEvals ) ); 

testMethod( trv0, dt, 10, 20000  , 'RK4', '-' )
testMethod( trv0, dt, 10, 10000  , 'RK4adaptive', 'o-' )
testMethod( trv0, dt/4, 10, 100000, 'Verlet', '-' )
#testMethod( trv0, dt/160, 2, 1000000, 'Euler', '-' )

legend();
axis("equal")
savefig("kepler.png")
show();

Answer 1

我知道这个问题现在还很老了，但这与其中一种方法的“优越性”无关，或者与你的编程有关 - 他们只是善于处理不同的事情。（所以不，这个答案不会真正与代码有关。甚至是关于编程。它更多的是数学，真的......）

Runge-Kutta解算器系列非常擅长以相当好的精度攻击几乎所有问题，并且在自适应方法的情况下，性能。但是，它们不是symplectic，这很快意味着它们不能在问题中节省能量。

另一方面，Verlet方法可能需要比RK方法小得多的步长，以便最小化解决方案中的振荡，但该方法是辛的。

你的问题是节约能源;在任意转数之后，行星体的总能量（动能+电位）应与初始条件下的相同。对于Verlet积分器（至少作为时间窗口平均值），情况确实如此，但RK系列的积分器不会这样 - 随着时间的推移，RK求解器会产生一个由于能量而不会减少的误差在数值积分中迷失了。

要验证这一点，请尝试在每个时间步骤中保存系统中的总能量，并绘制它（您可能需要做十次以上的旋转才能注意到差异）。 RK方法将稳定地降低能量，而Verlet方法将在恒定能量周围产生振荡。

如果这是你需要解决的确切问题，我还推荐开普勒方程，它可以解析这个问题。即使对于具有许多行星，卫星等的相当复杂的系统，行星际相互作用也是如此微不足道，以至于您可以单独使用每个物体的开普勒方程，并且它的旋转中心可以单独使用而不会损失太多精度。但是，如果你正在编写一个游戏，你可能真的对其他一些问题感兴趣，这只是一个学习的例子 - 在这种情况下，阅读各种求解器族的属性，并选择一个适合于你的问题。

Answer 2

我不知道我是否会回答你的具体问题，但这是我的想法。

您定义了一个非常简单的力模型。在这种情况下，保存一些步骤可能无法提高性能，因为计算RK4中的新步骤可能需要更长时间。如果力模型更复杂，带自适应步骤的RK4可以为您节省更多时间。从你的情节我认为Verlet也正在偏离正确的解决方案，一个重复的椭圆。

对于轨道力学，您还可以尝试使用RK7（8）自适应积分器，Adams-Bashforth multistep或Gauss Jackson方法。这是一篇论文，展示了其中一些方法：http://drum.lib.umd.edu/bitstream/1903/2202/7/2004-berry-healy-jas.pdf

最后，如果你的力模型总是一个简单的中心力量，就像在这个例子中一样，看一下开普勒方程。解决它是精确，快速，你可以跳到任意时间。

Answer 3

好的，最后，我使用了自适应Runge-Kutta-Fehlberg（RKF45）。有趣的是，当我要求更高的精度（最佳是1E-9）时，它更快（需要更少的步骤），因为在较低的精度（<1e-6）下，解决方案是不稳定的，并且通过放弃的步骤浪费了大量的迭代（这些步骤是长期和不准确的）。当我要求更好的精确度（1E-12）时，由于时间步长较短，因此需要更多步骤。

对于圆形轨道，可以在高达3倍速度增益的情况下判定（1e-5），但是当我需要模拟高度偏心（椭圆轨道）时，我宁愿保持安全的1E-9精度。

如果有人解决类似的问题，有代码 http://www.openprocessing.org/sketch/96977 它还显示了模拟一个时间单位的轨迹长度需要多少力评估

Runge-Kutta RK4不比Verlet好？

3 个答案: