Question

我正在尝试使用更大的物体不会移动的理想化方法来解决绕更大的物体运行的物体的位置。我正在尝试使用python中的四阶Runge-Kutta求解笛卡尔坐标中的位置。

这是我的代码：

dt = .1
t = np.arange(0,10,dt)

vx = np.zeros(len(t))
vy = np.zeros(len(t))
x = np.zeros(len(t))
y = np.zeros(len(t))

vx[0] = 10 #initial x velocity
vy[0] = 10 #initial y velocity
x[0] = 10 #initial x position
y[0] = 0 #initial y position

M = 20

def fx(x,y,t): #x acceleration
     return -G*M*x/((x**2+y**2)**(3/2))

def fy(x,y,t): #y acceleration
     return -G*M*y/((x**2+y**2)**(3/2))

def rkx(x,y,t,dt): #runge-kutta for x

     kx1 = dt * fx(x,y,t)
     mx1 = dt * x
     kx2 = dt * fx(x + .5*kx1, y + .5*kx1, t + .5*dt)
     mx2 = dt * (x + kx1/2)
     kx3 = dt * fx(x + .5*kx2, y + .5*kx2, t + .5*dt)
     mx3 = dt * (x + kx2/2)
     kx4 = dt * fx(x + kx3, y + x3, t + dt)
     mx4 = dt * (x + kx3)

     return (kx1 + 2*kx2 + 2*kx3 + kx4)/6
     return (mx1 + 2*mx2 + 2*mx3 + mx4)/6

 def rky(x,y,t,dt): #runge-kutta for y

     ky1 = dt * fy(x,y,t)
     my1 = dt * y
     ky2 = dt * fy(x + .5*ky1, y + .5*ky1, t + .5*dt)
     my2 = dt * (y + ky1/2)
     ky3 = dt * fy(x + .5*ky2, y + .5*ky2, t + .5*dt)
     my3 = dt * (y + ky2/2)
     ky4 = dt * fy(x + ky3, y + ky3, t + dt)
     my4 = dt * (y + ky3)

     return (ky1 + 2*ky2 + 2*ky3 + ky4)/6
     return (my1 + 2*my2 + 2*my3 + my4)/6

for n in range(1,len(t)): #solve using RK4 functions
    vx[n] = vx[n-1] + fx(x[n-1],y[n-1],t[n-1])*dt
    vy[n] = vy[n-1] + fy(x[n-1],y[n-1],t[n-1])*dt
    x[n] = x[n-1] + vx[n-1]*dt
    y[n] = y[n-1] + vy[n-1]*dt

最初，无论我以哪种方式调整代码，我的for循环都会出错，或者“类型为'float'的对象没有len（）“（我不明白什么是float python可以引用））或“使用序列设置数组元素”（我也不明白序列的含义）。我设法摆脱了错误，但是我的结果是错误的。我得到10的vx和vy数组，从10到109.的整数的x数组和从0.到99的整数的y数组。

我怀疑fx（x，y，t）和fy（x，y，t）或我将runge-kutta函数编码为与fx和fy一起使用的方式存在问题，因为我已经使用过其他功能使用相同的runge-kutta代码，效果很好。

我非常感谢您提供帮助，以弄清我的代码为什么不起作用。谢谢。

Answer 1

物理

牛顿定律给您带u''=F(u)的二阶ODE u=[x,y]。使用v=[x',y']获得一阶系统

u' = v
v' = F(u)

是4维的，必须使用4维状态求解。唯一可用的减少方法是使用开普勒定律，该开普勒定律允许将系统减小到标量阶角为一个ODE。但这不是这里的任务。

Euler方法

您正确实现了Euler方法，以在代码的最后一个循环中计算值。之所以看起来是非物理的，可能是因为随着Euler方法沿切线移动到凸轨迹的外部时，它不断增加轨道。在您的实现中，可以看到G=100的向外螺旋。

可以通过选择较小的步长（例如dt=0.001）来减小这种影响。

您应该选择积分时间作为整个轨道的良好部分，以获得可观的结果，使用上述参数，您将获得大约2个循环，这很好。

RK4实施

您犯了几个错误。您不知何故失去了速度，位置更新应基于速度。

然后，您应该停止fx(x + .5*kx1, y + .5*kx1, t + .5*dt)来重新考虑您的方法，因为这与任何命名约定都不符。一致，正确的变体是

fx(x + .5*kx1, y + .5*ky1, t + .5*dt)

这表明您无法解耦已耦合系统的集成，因为您需要y更新和x更新。此外，函数值是加速度，因此更新了速度。位置更新使用当前状态的速度。因此，该步骤应从

开始

 kx1 = dt * fx(x,y,t) # vx update
 mx1 = dt * vx        # x update
 ky1 = dt * fy(x,y,t) # vy update
 my1 = dt * vy        # y update

 kx2 = dt * fx(x + 0.5*mx1, y + 0.5*my1, t + 0.5*dt)
 mx2 = dt * (vx + 0.5*kx1/2)
 ky2 = dt * fy(x + 0.5*mx1, y + 0.5*my1, t + 0.5*dt)
 my2 = dt * (vy + 0.5*ky1/2)

等

但是，正如您所看到的，这已经开始变得笨拙。将状态组装成向量，并对系统方程使用向量值函数

M, G = 20, 100
def orbitsys(u):
     x,y,vx,vy = u
     r = np.hypot(x,y)
     f = G*M/r**3
     return np.array([vx, vy, -f*x, -f*y]);

然后，您可以使用Euler或Runge-Kutta步骤的菜谱实现

def Eulerstep(f,u,dt): return u+dt*f(u)

def RK4step(f,u,dt):
    k1 = dt*f(u)
    k2 = dt*f(u+0.5*k1)
    k3 = dt*f(u+0.5*k2)
    k4 = dt*f(u+k3)
    return u + (k1+2*k2+2*k3+k4)/6

并将它们组合成一个集成循环

def Eulerintegrate(f, y0, tspan):
    y = np.zeros([len(tspan),len(y0)])
    y[0,:]=y0
    for k in range(1, len(tspan)):
        y[k,:] = Eulerstep(f, y[k-1], tspan[k]-tspan[k-1])
    return y


def RK4integrate(f, y0, tspan):
    y = np.zeros([len(tspan),len(y0)])
    y[0,:]=y0
    for k in range(1, len(tspan)):
        y[k,:] = RK4step(f, y[k-1], tspan[k]-tspan[k-1])
    return y

并根据您的给定问题调用它们

dt = .1
t = np.arange(0,10,dt)
y0 = np.array([10, 0.0, 10, 10])

sol_euler = Eulerintegrate(orbitsys, y0, t)
x,y,vx,vy = sol_euler.T
plt.plot(x,y)

sol_RK4 = RK4integrate(orbitsys, y0, t)
x,y,vx,vy = sol_RK4.T
plt.plot(x,y)

Answer 2

您没有在任何地方使用rkx，rky函数！您应该使用的函数定义末尾有两个return return [(kx1 + 2*kx2 + 2*kx3 + kx4)/6, (mx1 + 2*mx2 + 2*mx3 + mx4)/6]（由@eapetcho指出）。另外，您对Runge-Kutta的实现不清楚。

您有dv/dt，因此您可以求解v，然后相应地更新r。

for n in range(1,len(t)): #solve using RK4 functions
    vx[n] = vx[n-1] + rkx(vx[n-1],vy[n-1],t[n-1])*dt
    vy[n] = vy[n-1] + rky(vx[n-1],vy[n-1],t[n-1])*dt
    x[n] = x[n-1] + vx[n-1]*dt
    y[n] = y[n-1] + vy[n-1]*dt

这是我的代码版本

import numpy as np

#constants
G=1
M=1
h=0.1

#initiating variables
rt = np.arange(0,10,h)
vx = np.zeros(len(rt))
vy = np.zeros(len(rt))
rx = np.zeros(len(rt))
ry = np.zeros(len(rt))

#initial conditions
vx[0] = 10 #initial x velocity
vy[0] = 10 #initial y velocity
rx[0] = 10 #initial x position
ry[0] = 0 #initial y position

def fx(x,y): #x acceleration
     return -G*M*x/((x**2+y**2)**(3/2))

def fy(x,y): #y acceleration
     return -G*M*y/((x**2+y**2)**(3/2))

def rk4(xj, yj):
    k0 = h*fx(xj, yj)
    l0 = h*fx(xj, yj)

    k1 = h*fx(xj + 0.5*k0 , yj + 0.5*l0)
    l1 = h*fy(xj + 0.5*k0 , yj + 0.5*l0)

    k2 = h*fx(xj + 0.5*k1 , yj + 0.5*l1)
    l2 = h*fy(xj + 0.5*k1 , yj + 0.5*l1)

    k3 = h*fx(xj + k2, yj + l2)
    l3 = h*fy(xj + k2, yj + l2)

    xj1 = xj + (1/6)*(k0 + 2*k1 + 2*k2 + k3)
    yj1 = yj + (1/6)*(l0 + 2*l1 + 2*l2 + l3)
    return (xj1, yj1)

for t in range(1,len(rt)):
    nv = rk4(vx[t-1],vy[t-1])
    [vx[t],vy[t]] = nv
    rx[t] = rx[t-1] + vx[t-1]*h
    ry[t] = ry[t-1] + vy[t-1]*h

我怀疑fx（x，y，t）和fy（x，y，t）存在问题

是这种情况，我只检查了fx=3和fy=y的代码，就得到了不错的轨迹。

这是ry与rx的情节：

无法使RK4解决Python中轨道物体的位置

2 个答案:

物理

Euler方法

RK4实施