MATLAB曲线拟合 - 最小二乘法 - 使用高度误差“拟合”

Question

这里的任何人可以帮我解决以下问题吗？ 以下代码计算适合给定数据集的最佳多项式，即：指定度数的多项式。

不幸的是，无论数据集是什么，通常是6级或更高，MATLAB都会完全错误。通常，拟合曲线完全远离数据，以一种向前看的方式向下。 （参见示例：degree = 8）。

x=[1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5] % experimental x-values
y=[4.3 6.2 10.1 13.5 19.8 22.6 24.7 29.2] % experimental y-values

degree=8; % specify the degree
A = zeros(length(x),degree);
for exponent=0:degree;
for data=1:length(x);
   A(data,exponent+1)=x(data).^exponent; % create matrix A
end;
end;

a=inv((transpose(A)*A))*transpose(A)*y'; % a are the coëfficients of the polynom
a=flipud(a);
fitpolynoom=polyval(a,x);
error=sum((y-fitpolynoom).^2); % calculates the fit-error using the least-squares method
fitpolynoom=polyval(a,x);

figure;
plot(x,y,'black*',x,fitpolynoom,'g-');

error % displays the value of the fit-error in the Matlab command window

提前致谢。

Answer 1

首先，一些评论：对于Matlab中的最小二乘拟合多项式，您可以使用现有的polyfit函数。此外（这可能取决于您的应用）您可能不应该适合$ 8 $度多项式，特别是当您有$ 8 $数据点时。在这个答案中，我假设您有充分的理由将多项式拟合到您的数据中（例如，仅用于自学目的）。

问题是矩阵求逆引起的数值问题。为了求解$ Ax = b $类型的方程式，其中$ A $是一个方阵，实际上不建议反转$ A $（参见Blogpost 'Don't invert that matrix' by John D. Cook）。在最小二乘的情况下，而不是 \开始{}方程 a =（A ^ \ mathrm {T} A）^ { - 1} A ^ \ mathrm {T} y ^ \ mathrm {T} \ {端方程} 解决问题更好 \开始{}方程 （A ^ \ mathrm {T} A）a = A ^ \ mathrm {T} y ^ \ mathrm {T} \ {端方程} 通过其他方式。在您的MATLAB代码中，您可以替换

a=inv((transpose(A)*A))*transpose(A)*y';

通过

a = (transpose(A) * A) \ (transpose(A) * y');

通过对代码的这种修改，我获得了通过数据点的拟合。