Question

我有n个扇区，逆时针枚举0到n-1。这些扇区之间的边界是无限分支（n个）。这些部门生活在复杂的平面上，对于n平均而言，扇区0和n / 2被实轴一分为二，扇区间隔均匀。

这些分支在某些点相遇，称为交叉点。每个交叉点与扇区的子集相邻（至少3个）。

指定交汇点（以预先修正的顺序，比如从邻近扇区0和1的交汇点开始），以及交汇点之间的距离，唯一地描述了树。

现在，给定这样的表示，我怎样才能看到它是否与实轴对称？

例如，n = 6，树（0,1,5）（1,2,4,5）（2,3,4）在实线上有三个连接点，所以它与实轴对称。如果（015）和（1245）之间的距离等于从（1245）到（234）的距离，这也是假想轴对称的。

树（0,1,5）（1,2,5）（2,4,5）（2,3,4）有4个连接点，这在假想轴或实轴上都不是对称的，而是如果表示中前两个和最后两个交点之间的距离相等，则它具有180度旋转对称性。

编辑：这里有所有树木，有6个树枝，距离为1。 http://www2.math.su.se/~per/files/allTrees.pdf

因此，给定描述/表示，我想找到一些算法来确定它是否是真实的，虚构的和180度旋转的对称。最后一个例子具有180度对称性。

编辑2：这实际上是我的研究。我也在mathoverflow上发布了这个问题，但我在竞赛编程中的日子告诉我，这更像是一个IOI任务。 mathematica中的代码非常好，但java，python或人类可读的任何其他语言都足够了。

（这些对称性对应于Schroedinger方程中的特殊种类，它在量子力学中具有很好的性质。）

Answer 1

请您更好地定义树的对称性是什么意思？

你先说

“这些部门生活在这个综合体中平面，对于n均匀，扇区0和 n / 2被实轴一分为二，并且扇区间隔均匀。“

并且您想要找到对称性

wrt real，imaginary，rotation 180度

我希望对称性几乎是几何的，但是你也会在对贾斯汀的答案的评论中说，

也没有一种规范的方式来画树，而我的绘图算法并不尊重所有可能的树可以拥有的对称性

如果无法在平面上唯一定义树顶点的位置，您如何查找几何对称？此外，在你给出的许多图（N = 6，偶数）中，0和3的扇区没有被x轴（实轴）一分为二，所以我认为你自己的图错了。

Answer 2

由于您已经有一个算法来构造树的点集，您只需要确定点集是否具有翻转对称性。理想情况下，对于非理性点，您的集合是按符号计算的（并且以sin（theta），cos（theta）表示），这应该没问题，因为您似乎使用了Mathematica。

您现在想知道您的点集是否具有关于某个轴的对称性，因此将翻转/旋转变换表示为矩阵 A ，并且我们有{x'} = A {X}。对后映像集{x'}进行排序（使用表达式而不是数值），并与原始点集{x}进行比较。如果没有1-1的对应关系，那么你没有对称性，否则你就没有对称性。

我认为有一个mathematica函数可以在集合中找到唯一的表达式（例如Unique [beforeImage] == Unique [afterImage]）

Answer 3

我没有时间实现这一点，也许这里有人可能会更进一步：

首先按象限划分交汇点，这应该产生4棵树。 {Tpp，Tmp，Tmm，Tpm}（p表示加号，m表示负数）。现在检查对称性似乎是一个有向广度的第一次遍历：

我的mathematica已经有一段时间了，所以这些都不会编译

CheckRealFlip[T_] := And[TraverseCompare[Tpp[T], Tpm[T]],
                         TraverseCompare[Tmp[T], Tmm[T]];
CheckImFlip[T_] :=   And[TraverseCompare[Tpp[T], Tmp[T]],
                         TraverseCompare[Tpm[T], Tmm[T]];

当TraverseCompare使用沿着一棵树的第一次遍历遍历检查树的结构，并且沿着另一棵树首先遍历逆序宽度。（如下所示，但这不起作用）。

TraverseCompare[A_, B_] := Size[A] == Size[B] && 
  Apply[TraverseCompare, Children[A], Reverse[Children[B]];

查找树对称性的算法

3 个答案: