Question

我有一些有向无环图。我想找到O(1)中两个顶点之间是否存在路径。

另外，我想在O(n^2)中添加和删除两个顶点之间的边。

我认为，我需要存储信息，两个节点之间存在多少路径。但我没有提出完整的算法。

Answer 1

我们假设f(i, j)是从i到j顶点的路径数。最初（我假设图表为空，如果不是这种情况，则可以使用添加操作添加所有边缘）f(i, j) = 1如果i = j，则0。

要从a添加边缘到b，您可以使用以下过程：

for i = 1 .. n
    for j = 1 .. n
        new_f(i, j) = f(i, j) + f(i, a) * f(b, j) //add the number of paths that contain a new edge

其中n是顶点数。

删除边缘可以用类似的方式完成：

for i = 1 .. n
        for j = 1 .. n
            new_f(i, j) = f(i, j) - f(i, a) * f(b, j) //subtract the number of paths that contian this edge

删除/添加边缘显然需要O(n ^ 2)次。当且仅当a。

时，存在从b到f(a, b) != 0的路径

但是，此解决方案存在一个问题：路径数量可能非常大（大于标准整数类型可以容纳）并且使用任意精度算法会增加时间复杂度。为了避免这个问题，您可以计算以某个大质数为模的路径数（但小到足以适合标准整数类型）p。此解决方案可能会产生不正确的结果（路径数可以0模p，即使它实际上非零），但失败的概率很低。要进一步减少它，您可以计算f模数几个不同的素数。

Answer 2

阅读此内容的好地方是“算法，第4版”。罗伯特塞奇威克和凯文韦恩。http://algs4.cs.princeton.edu/home/。他们还在Coursera.org上展示了“算法”课程。这是免费的，那里有材料来回答你的问题。看看。https://www.coursera.org/course/algs4partI

有没有办法在常量时间（O（1））中查找有向无环图中是否存在路径？

2 个答案: