计算由参数化曲面切割的立方体体积

Question

假设我有一个嵌入3d体积的2D表面，例如球体表面， 由r²=x²+y²+z²定义。现在我想计算一个立方体内这个表面切割产生的体积。作为示例，请参见此图像

所以在这种情况下，一个体积就是V = 4 /3πr³/ 8 =π/ 8~0.5239，  什么是以高精度在数值上计算这个数字的快速方法？
我的第一个想法是使用一个简单的monte-carlo方法，它似乎有效，但速度不够快，因为我必须重复这个过程大约1000个立方体。例如：

import numpy as np

def get_pi(n):
    k = 10000
    m = n/k
    result = 0
    for i in range(m): #split up n to save memory
        x = np.random.rand(k)
        y = np.random.rand(k)
        z = np.random.rand(k)
        r = np.sqrt(x**2+y**2+z**2)
        t = r<1
        result += np.sum(t)/float(k)*6
    result /=m
    return result

In [19]: get_pi(100000000)-np.pi
Out[19]: -9.6033589800370578e-05

In [28]: %timeit get_pi(100000000)
1 loops, best of 3: 4.98 s per loop

是否有更好的算法或者至少有一种方法可以让它更快？ 感谢您的任何建议。

编辑：一般来说，这应该适用于具有给定参数化的所有类型的表面，如上面的类型。此外，立方体的位置可能与原点不同。