Question

我正在尝试解决following problem，我将其缩减为： 找到（N！）^ 2

的除数

我编写了我的解决方案，我在此处作为答案（因为没有被指责不做任何工作），并且即使是大数字也能正常快速地工作，但因为它没有通过所有的由于超时测试，我认为我的算法效率不高。

以下是我的想法概述：

任何数字都可以显示为a0^b1*a1^b1*...*an^bn，其中(1 + b1)*(1 + b2)*...*(1 + bn)除数
然后M^2会有(1 + 2b1)*(1 + 2b2)*...*(1 + 2bn)除数
创建一个函数，该函数查找数字的所有因子并将其保存为hashmap
有一个函数，它将通过添加相应键的值来组合两个哈希映射
使用这两个函数迭代从2到n的所有数字以获得所有因子的除数
使用1.中的功能来获得答案

我认为这个解决方案非常有效，但看起来有更好的方法。谁能建议我一个更好的方法呢？

Answer 1

您的问题有一个简单有效的解决方案。请注意n!是：

1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * ... * n

让我们考虑一下素数因子在此产品中出现的次数，例如2。每2个因素出现一次。但是，每4个因素出现两次。并且每8个因素出现三次等。换句话说，因子2将出现在n! sum(n//(2**e) for e in range(1, n))次。对于任何素因子k也是如此。

您可以使用以下方法实现此计算：

import itertools as it

def exp_for_factor_in_factorial(factor, n):
    total = 0
    for e in it.count(1):
        if factor ** e > n:
            break
        total += n // factor**e
    return total

现在，为了找到n!的所有素数因子，我们需要找到最多n的所有素数，这可以通过eratosthenes轻松完成：

import math

def sieve(n):
    nums = [True] * (n+1)
    nums[:2] = [False]*2
    nums[4::2] = [False] * math.ceil((n-3)/2)
    for i in range(3, int((n+1)**.5)+1, 2):
        if nums[i]:
            for j in range(i*i, n+1, 2*i):
                nums[j] = False
    return [i for i,k in enumerate(nums) if k]

这使我们可以获得n!的分解：

def get_factorization_factorial(n):
    primes = sieve(n)
    factors = []
    for p in primes:
        factors.append((p, exp_for_factor_in_factorial(p, n)))
    return factors

最后，要计算分解中的除数数，可以使用已经提到的公式：

import operator as op
from functools import reduce

def get_num_divisors(factorization):
    return reduce(op.mul, (e+1 for _, e in factorization), 1)

所以最终答案可以获得：

def divs_of_squared_fact(n):
    return get_num_divisors((p, 2*e) for p, e in get_factorization_factorial(n))

请注意，此解决方案的性能远高于您的解决方案：

In [41]: %%timeit
    ...: for i in range(2, 1000):
    ...:     x = divs_of_squared_fact(i)
    ...: 
1 loops, best of 3: 276 ms per loop

In [42]: %%timeit
    ...: for i in range(2, 1000):
    ...:     x = divisorsOfFactorialSquare(i)
    ...: 
1 loops, best of 3: 7.89 s per loop

能够产生大约(5000!)^2中2ms的除数的数量，而另一个则需要几乎半秒：

In [47]: %timeit divs_of_squared_fact(5000)
100 loops, best of 3: 2.07 ms per loop

In [48]: %timeit divisorsOfFactorialSquare(5000)
1 loops, best of 3: 439 ms per loop

嗯，实际上答案具有不同的渐近复杂度，因此在增加论证时，差异会变为无穷大。

求出（N！）^ 2的除数

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