Question

通常我使用以下代码来查找给定n（tau函数）之前的除数数：

L=[0 for i in range(N+1)]
for i in range(1,N+1):
    for j in range(i, N+1,i):
        L[j]+=1
print L

哪个输出

[0, 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4]

但是如果我想输出n ^ 2的除数呢？现在它正在看n = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，但我想改变它所以它实际上看着0,1,4,9,16， 25,36,49,64,81,100（不需要乱用任何其他数字）。

输出应如下所示：

[0, 1, 3, 3, 5, 3, 9, 3, 7, 5, 9]

Answer 1

根据n的大小，Nolen的回答可能就足够了（公平地说，您的原始代码未经优化开始）。但是，值得注意的是n**2 是。如果我们可以对一个数字进行因式分解，比如说10，我们就会得到：

10    = (2**1)*(5**1)
10**2 = (2**(1+1))*(5**(1+1)) = (2**2)*(5**2)

即。素数分解中指数中的数字只是两倍。假设您已经可以找到数字n的主要因子分解（您的代码可以被修改），可以通过（伪代码）<{1}}找到除数的数量

n**2

如果我们为div := (list of divisors of n) div2 := (a list with two copies of div) loop through all combinations div2: if combo <= sqrt(n): keep unique执行此操作，我们会得到：

div := (1,2,5,10) div2 := (1,2,5,10,1,2,5,10) keep := (1,2,5,10,2*2,2*5) unique_keep := (1,2,4,5,10)中的每个数字都分为unique_keep，因此它们也有相应的因子，除了10的奇异情况，这是它自己的因素。这给出了九个除数：

10**2=100

Answer 2

我相信你想要这样的东西？

>>> [sum(i**2 % j == 0 for j in range(1, i**2 + 1)) for i in range(11)]
[0, 1, 3, 3, 5, 3, 9, 3, 7, 5, 9]

或者更一般地说

>>> def divisors(start, end, trans=lambda x:x):
...     return [sum(i % j == 0 for j in range(1, i + 1)) for i in (trans(t) for t in range(start, end+1))]
... 
>>> divisors(0, 10, lambda x: x**2)
[0, 1, 3, 3, 5, 3, 9, 3, 7, 5, 9]
>>> divisors(0, 10)
[0, 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4]

Answer 3

如果你有一个数字的素因子，那么计算它所具有的因子的数量就像计算它的平方因子（或者实际上是任何幂）一样容易。

def factor_count(N,power):
    factor_count = list()
    for n in range(N+1):
        prime = 2
        prime_factors = list()
        exponents = list()
        while n > 1:
            while (n / prime) % 1 == 0:
                if prime not in prime_factors:
                    prime_factors.append(prime)
                    exponents.append(1)
                else:
                    exponent = exponents.pop()+1
                    exponents.append(exponent)
                n /= prime
            prime += 1
        factors = 1
        for x in exponents:
            factors *= power*x+1
        factor_count.append(factors)
    print(factor_count)

另外，我会注意到我的程序与你的程序有多少不同。修改代码来解释这一点很简单，但由于除数通常是在自然数上定义的，所以完全忽略它也同样容易。

为了让您了解这与其他答案相比有多高效：

power_factors(1000,2000000000)                                        #evaluates almost instantly despite having an exponent of 2 billion
[sum(i**2 % j == 0 for j in range(1, i**2 + 1)) for i in range(1001)] #I got fed up of waiting before it managed to finish even with just an exponent of 2

使用筛子找到除数的数量，但仅限n ^ 2

3 个答案: