Question

我是动态编程的新手并且遇到了这个例子。

你有n步攀登。你一次只能爬1步或2步。找到达到第N步的方法数量。

溶液是..T（n）= T（n-1）+ T（n-2）

我做的最后一步是什么？

我要么是n-1步，要么是n-2步。现在，达到第N步的方式的数量如何是达到n-1步和n-2步的方式的总和。我无法获得打破逻辑所需的直觉。请帮助。

P.S我可以在递归中为此编写代码。

Answer 1

动态编程解决方案

T(n) = T(n-1) + T(n-2)基本上是用于查找n斐波纳契数的递归算法。现在，如果我正确地理解了您的问题，那么您正在尝试为此找到动态编程解决方案。

使用DP，我们只需记住先前的答案，并从之前的答案中计算出新的答案。这基本归结为：

int[] s = new int[n]
s[0] = 0;
s[1] = 1;

for(int i = 2; i < n; i++) {
    s[i] = s[i - 1] + s[i - 2];
}

return s[n - 1] + 1;

其中n是步数，s[n - 1] + 1是达到n步骤的方式的数量。

因此，对于2个步骤，解决方案是(1) + 1 = 2：

1 + 1
2

对于3个步骤，解决方案为(1 + 1) + 1 = 3：

1 + 1 + 1
1 + 2
2 + 1

对于4个步骤，解决方案为(1 + 1 + 2) + 1 = 5

1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 2
1 + 2 + 1
2 + 1 + 1
2 + 2

解决方案是(1 + 1 + 2 + 3) + 1 = 8

1 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 2
1 + 1 + 2 + 1
1 + 2 + 1 + 1
2 + 1 + 1 + 1
1 + 2 + 2
2 + 1 + 2
2 + 2 + 1

让我们更深入

我做的最后一步是什么？

这不能用我们提供的信息来确定。最后一步完全取决于我们选择步骤的顺序。然而，我们能做的是找到最后一步是两步或一步的概率。从上面的插图中可以看出，最后一步为1的概率是：

P(1) = 1 / 1 = 100.0%
P(2) = 1 / 2 =  50.0%
P(3) = 2 / 3 =  66.6%
P(4) = 3 / 5 =  60.0%
P(5) = 5 / 8 =  62.5%

正如我们所看到的，分子和分母都遵循相同的模式;分子只是分母前面的一个斐波纳契数。

因此，最后一步的概率为1：

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2), F(0) = 0, F(1) = 1, n >= 0

P(n) = F(n) / F(n - 1), n >= 2

当1 / P(n)接近无穷大时，(1 + sqrt(5)) / 2的递归公式实际上会限制在n，这可能更好地称为Golden ratio。

了解这一点，最后一步为1的概率为1 / ((1 + sqrt(5) ) / 2)，也可以写为2 / (1 + sqrt(5) )。因为这是> 0.5，我们可以说最后一步是可能 1。

您可以在Wolfram Alpha中看到完整的计算。

Answer 2

达到（第n-2）步然后进行2步的方法，以及达到（n-1）步并且使1步不相交的方式，因为它的'最后一步是在没有绕过（n-1）或（n-2）的情况下，没有其他方法可以达到第n个，并且已经计算了（n-1）和（n-2）

Answer 3

现在，达到第N步的方法数量如何才能达到达到n-1步和n-2步的方法数量。

这样想。你在n步。你是怎么到达那里的，因为你可以一次爬1步或2步？好吧，您的上一步必须是步骤n-1（步骤1步）或步骤n-2（步骤2步）。现在，有T(n-1)种方法可以达到n-1步骤，T(n-2)种方法可以达到n-2步，这意味着有T(n-2)种方式如果您的最后一步是n，则n-2达到T(n-1);如果您的最后一步是n，则n-1达到n。这些是您最终达到n的唯一两种可能性，因此进入T(n-1)+T(n-2)步骤的方式总数为{{1}}。希望这有帮助！

DP中的递归和n阶梯示例

3 个答案: