Question

我正在阅读此post并尝试弄清楚如何确定二元搜索的不变关系。具体来说，在他给出的两个例子中，为什么这两个不变的关系是不同的？是什么让它与众不同？

A部分[开始]＆lt;目标＆lt; [结束]很明显，但问题是在哪里放置=符号？

另一个问题是，我可以简单地将框架更改为：

int binarySearchFramework(int A[], int n, int target) {
    int start = start index of array - 1;
    int end = length of the A;
    while (end - start > 1) {
        int mid = (end - start) / 2 + start;
        if (A[mid] == target) return mid;
        if (A[mid] < target) {
            end = mid;
        } else {
            start = mid;
        }
    }      
   //not found
   ...
}

这个不如帖子中提供的那个好吗？

非常感谢！

Answer 1

你可以选择不变量。这是从实践中学到的技能。即使有经验，它通常也会涉及一些反复试验。选一个。看看它如何。寻找机会选择一个需要较少维护工作的机会。您选择的不变量可以对代码的复杂性和/或效率产生重大影响。

二元搜索中至少有四个合理的不变量选择：

a[lo] <  target <  a[hi]
a[lo] <= target <  a[hi]
a[lo] <  target <= a[hi]
a[lo] <= target <= a[hi]

你通常会看到最后一个因为它是最容易解释的，并且不涉及使用超出范围的数组索引进行棘手的初始化，而其他人则这样做。

现在是使用a[lo] < target <= a[hi]等不变量的理由。如果您希望始终在目标的重复系列中找到，则此不变量将执行O（log n）时间。当hi - lo == 1时，hi指向第一次出现的目标。

int find(int target, int *a, int size) { // Establish invariant: a[lo] < target <= a[hi] || target does not exist // We assume a[-1] contains an element less than target. But since it is never // accessed, we don't need a real element there. int lo = -1, hi = size - 1; while (hi - lo > 1) { // mid == -1 is impossible because hi-lo >= 2 due to while condition int mid = lo + (hi - lo) / 2; // or (hi + lo) / 2 on 32 bit machines if (a[mid] < target) lo = mid; // a[mid] < target, so this maintains invariant else hi = mid; // target <= a[mid], so this maintains invariant } // if hi - lo == 1, then hi must be first occurrence of target, if it exists. return hi > lo && a[hi] == target ? hi : NOT_FOUND; }

注意，此代码未经测试，但应该由不变逻辑工作。

两个<=的不变量只会找到目标的某些实例。你无法控制哪一个。

此不变需要使用lo = -1进行初始化。这增加了证明要求。您必须证明mid永远不能设置为-1，这会导致超出范围的访问权限。幸运的是，这个证据并不难。

你引用的文章很差。它有几个错误和不一致。寻找其他地方的例子。编程珍珠是一个不错的选择。

您建议的更改是正确的，但可能会有点慢，因为它取代了一次只运行一次的测试，每次迭代运行一次。

Answer 2

问题的答案是问题的答案＆＃34;什么是循环不变量＆＃34;。

循环不变量的要点是在循环终止之前，期间和（可能最重要的）之后提供有用的属性。作为示例，插入排序具有循环不变量，即要排序的数组按照从1索引开始的范围的排序顺序（一个项始终排序），并且增长为整个数组。这有用的是，如果在循环开始之前它是真的，并且循环没有违反它，你可以正确地推断出在执行循环之后整个数组都被排序了。假设你并没有弄乱你的终止条件，它没有违反循环不变量，因为不变量只是指整个数组的子数组，可能是也可能不是整个数组。如果提前终止，则子数组小于整个数组，但保证子数组按照不变量进行排序。

你链接的帖子说的大致相同，但如果作者真正解释了他所谈论的内容可能会更好。这篇文章似乎试图教导，但仍然没有说出应该说的，即使只是为那些好奇或需要更多信息的人提供更深入的信息的脚注。

回答你的问题＆＃34;为什么两个不变量不同＆＃34;直接，答案是因为他们正在解决两个不同的问题。

链接中的几个引用说明了这一点：

我再次强调，不变关系引导我们编码。
找到问题的不变关系，然后一切都变得容易。

Answer 3

你写了

A部分[开始]＆lt;目标＆lt; [结束]很明显

但显然是错误的，因为初始值应该是start = 0，end = N-1（不是-1，N）。顺便说一句，对于链接中描述的情况（不同元素的数组），您不需要任何不变量。

这将毫无问题且易于理解。

int arr[] = {0,1,2,3,4,5,6,7};
int N = sizeof (arr) / sizeof (arr[0]);
int target = 4;

int l = 0, r = N-1;
while( l <= r ) {
    int mid = (l+r)>>1;
    if( arr[mid] == target )
        return mid;
    if( arr[mid] < target )
        l = mid + 1;
    else
        r = mid - 1;
}
return -1; // not found

二进制搜索和不变关系

3 个答案: