N个独立标准正态变量的总和

Question

我想模拟N个独立标准正态变量的总和。

sums <- c(1:5000)

for (i in 1:5000) {
  sums[i] <- sum(rnorm(5000,0,1))
}

我试图绘制N = 5000标准法线并求它们。重复5000个模拟路径。

我预计和的期望值为0，总和的方差为5000。

> mean(sums)
[1] 0.4260789
> var(sums)
[1] 5032.494

模拟的期望太大了。当我再次尝试时，我的平均值为1.309206。

Answer 1

@ilir是正确的，你得到的值基本上为零。 如果你看一下情节，你会得到-200到200之间的值.0.42适用于所有意图和目的0。

您可以使用t.test进行测试。

> t.test(sums, mu = 0)

    One Sample t-test

data:  sums
t = -1.1869, df = 4999, p-value = 0.2353
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -3.167856  0.778563
sample estimates:
mean of x 
-1.194646 

没有证据表明您的平均值与零不同（假设零假设为真）。

Answer 2

这很平常，平均值并不完全落在0上，因为它是一个经验均值，是根据随机变量的“仅”5000个实现计算的。

但是，sums向量中包含的实现的分布应该“看起来”为高斯。

例如，当我尝试绘制直方图和qqplot获得的10000个高斯定律之和（以这种方式创建的sums <- replicate(1e4,sum(rnorm(5000,0,1)))）的实现时，它看起来很正常，正如你在以下数字：

hist(sums)

qqnorm(sums)

Answer 3

独立法线的总和也是正常的，平均值是均值和方差之和，是方差之和。因此sum(rnorm(5000,0,1))相当于rnorm(1,0,sqrt(5000))。法线的样本平均值也是正常变量。在您的情况下，您采用5000个独立正态变量的样本平均值，零均值和方差5000.这是一个零均值和单位方差的正常变量，即标准法线。

因此，在您的情况下，mean(sums)与rnorm(1)相同。因此，间隔(-1.96,1.96)的任何值都会在95％的时间内出现。