Question

这不是作业。我要问看问题是经典的（微不足道的）还是非平凡的。它在表面上看起来很简单，我希望它确实是一个简单的问题。

有N个点（N> = 2）在表面上坐标Xn，Yn 2D实体。
实体有一些小旋转（低于Pi / 180）结合小班次（低于任何2点N之间距离的1％）。可能还有一些小的变形（<<0.001％）
相同的N个点具有名为XXn，YYn
以最佳近似值计算旋转中心的位置，作为C点，坐标为XXX，YYY。

谢谢

Answer 1

如果你知道对应关系（即你知道转换前后哪些点是相同的），并且你选择允许缩放，那么问题就是一组线性方程。如果你有2个或更多点，那么你可以找到一个没有困难的最小二乘解。

对于初始点（xi，yi）和变换点（xi'，yi'），你有形式的方程式

xi' = a xi + b yi + c
yi' =-b xi + a yi + d

您可以重新排列成线性系统

A x = y

，其中

A = | x1  y1 1 0 | 
    | y1 -x1 0 1 |
    | x2  y2 1 0 |
    | y2 -x2 0 1 |
    |    ...     |
    | xn  yn 1 0 |
    | yn -xn 0 1 |

x = | a |
    | b |
    | c |
    | d |

y = | x1' |
    | y1' |
    | x2' |
    | y2' |
    | ... |
    | xn' |
    | yn' |

标准的“最小二乘”形式是

A^T A x = A^T y

并有解决方案

x = (A^T A)^-1 A^T y

A^T作为A和A^-1的转置作为A的反转。通常你会使用SVD或QR分解来计算解决方案，因为它们应该比反向更稳定，计算密集度更低。

找到x后（转换a，b，c和d的四个要素），然后是各种要素

给出了转型

scale       = sqrt(a*a+b*b)
rotation    = atan2(b,a)
translation = (c,d)/scale

如果不包括缩放，则系统是非线性的，需要迭代解决方案（但不难解决）。如果你不知道对应，那么问题就更难了，因为像iterated closest point这样的小变换是有效的，对于大变换来说，它要困难得多。

编辑：我忘了包含旋转中心。关于任意点theta的轮换p是序列

translate(p) rotate(theta) translate(-p)

如果你将它全部扩展为仿射变换（基本上就是我们上面所做的那样）那么翻译术语就会出现

dx = px - cos(theta)*px + sin(theta)*py
dy = py - sin(theta)*px - cos(theta)*py

我们从上面的等式中了解theta（rotation），dx（c）和dy（d）。通过一点点摆弄，我们可以解决px和py

px = 0.5*(dx - sin(theta)*dy/(1-cos(theta)))
py = 0.5*(dy + sin(theta)*dx/(1-cos(theta)))

如果theta为零，你会注意到方程是不确定的，因为没有旋转时没有旋转中心。

我认为我已经完全正确了，但我现在没有时间仔细检查它。

Answer 2

查找“Kabsch算法”。它是一种使用N个已知对创建旋转矩阵的通用算法。 Kabsch创建它以协助去噪立体照片。您将图片A中的要素旋转到图片B，如果它不在目标位置，则该要素是噪点。 http://en.wikipedia.org/wiki/Kabsch_algorithm

Answer 3

首先，这个问题并不重要。

一个“简单”的解决方案。当多边形类似于圆形时，它最有效，并且点均匀分布。

迭代N
对于旧数据集和新数据集，找到N点的2个最远点。所以现在你在变换之前和之后都有三角形。使用每个三角形中心的顺时针方向将其顶点编号为[0]（=原始数据集中的第N个点），[1]和[2]（2个最远点）。
计算此三角形的旋转中心和变形（x和y）。如果变形大于0.001％ - 则删除此三角形的数据，否则保存它。
计算旋转中心的平均值。

正确的解决方案：定义函数Err（Point BEFORE [N]，Point AFTER [N]，double TFORM [3] [3]），其中BEFORE - 常量旧数据点，AFTER - 常量新数据点，TFORM [3] [3]仿射变换矩阵，Err（...）函数返回标量误差值，当TFORM转换为精确AFTER或某些> 0.0误差值时返回0.0。然后使用您想要找到的最小Err（TFORM）的任何数学数学：例如渐变搜索。

Answer 4

有关相对简单的解决方案，请参阅On calculating the finite centre of rotation for rigid planar motion。我说“相对简单”因为它仍然使用伪相反和SVD（奇异值分解）之类的东西。这是一个wikipedia article on Instant centre of rotation。另一篇论文：ESTIMATION OF THE FINITE CENTER OF ROTATION IN PLANAR MOVEMENTS。

如果你能处理更硬的东西，试试Least Squares Estimation of Transformation Parameters Between Two Point Patterns。

Answer 5

计算多边形中心O1和O2。确定O1的线公式为（X0，Y0），O2为（XX0，YY0）。找到相交的行来获得C.

Answer 6

如果我理解你的问题，可以用这种方式解决：

找到四肢（最远点，可能在几个轴上）
缩放一个以匹配
他们的轮换现在应该是微不足道的（？）

Answer 7

在旋转之前和之后选择身体上的任意2个点，P1，P2。找到这些点之前和之后的向量。使用垂直于旋转平面的矢量交叉这些矢量。这导致两个新的向量，由初始点形成的线的交点和这两个新向量是旋转的中心。

{
如果P1after = P1之前返回P1 如果P2after = P2之前返回P2 矢量V1 = P1后 - P1之前向量V2 = P2后 - P2之前 normal = Vn //为任意三维方向创建可能很麻烦但如果你知道方向就很简单，例如，对于x，y平面中的一个对象，normal =（0,0,1））

向量VL1 = V1 x Vn //向量V1与Vn
的交叉乘积矢量VL2 = V2×Vn
return intersectLines（P1after，VL1，P2after，VL2）//旋转中心是两条线的交点 }
intersectLines（Point P1，Vector V1，Point P2，Vector V2）
{
//使用点的方向形式相交两条线 //返回一个点
}

用于小角度2D旋转中心的最佳近似公式

7 个答案: