树上的顶点覆盖问题如下。
输入：非循环简单无向图G 输出：一组顶点W，对于每个边uv，u∈W或v∈ W.我们希望最小化W的大小。
我的贪心算法是初始化W =∅，然后，当G不为空时，重复以下步骤。令L为G的叶顶点。令N（L）为与L中的某个顶点相邻的顶点集。更新W =W∪N（L）。从G中删除顶点L∪N（L）及其入射边缘。
此算法适用于我迄今为止尝试过的所有情况。我该如何证明它是正确的？这是我到目前为止所拥有的。
假设有另一个集合S是最佳解决方案。矛盾的是，我想要确定S不覆盖所有边缘，或者S与我的贪婪算法产生的S相同。
答案 0 :(得分：2)
这是一个合理的开始，但我看到两个问题。首先，最佳解决方案可能不是唯一的。考虑四顶点路径a-b-c-d，它有三个最优解：{a,c}, {b,c}, {b,d}。第二个（你可能已经这样做了，但你没有这么说），有必要考虑将树植根。否则，在图表a-b上，我们有L = {a,b}和N(L) = {b,a}，并且生成的顶点封面是W = {b,a}，这不是最佳的。通过将a指定为根，根据定义将其排除在叶子集之外。
为了正式证明涉及循环的程序的正确性，使用归纳法建立循环不变量通常是个好主意。请允许我建议两个。
对于所有时间t（其中时间=循环迭代次数），令G（t）为时间t处G的左边，并且令W（t）为时间t处的W值。对于G（t）的每个顶点覆盖X，集合W（t）∪X是G（0）的顶点覆盖，其中0是起始时间。
对于所有时间t，存在包含W（t）作为子集的最优解。
设T为结束时间。由于G（T）是空图，因此X =∅是G（T）的有效顶点覆盖，因此不变＃1确定W（T）是G（0）的顶点覆盖。不变＃2确定W（T）包含在某些最优解中。由于W（T）本身是顶点覆盖，W（T）本身必须是最佳解决方案。
在给出包含W（t-1）但不包含W（t）的最佳解决方案的情况下，证明不变＃2的归纳步骤将其按摩成包含W（t）的另一个最佳解决方案。这包括将你的直觉形式化，使得叶子的邻居在叶子上的效率始终至少同样高效。