从两组对应点计算基本矩阵

Question

我正在尝试从两个校准过的相机重建三维图像。其中一个步骤是从两组相应的（同质）点（超过所需的8个）E和P_a_orig以及两个相机的3x3计算3x3基本矩阵P_b_orig内部校准矩阵K_a和K_b。

我们首先用

标准化我们的点数

P_a = inv(K_a) * p_a_orig

和

P_b = inv(K_b) * p_b_orig

我们也知道约束

P_b' * E * P_a = 0

我到目前为止一直在关注它，但你如何解决最后一个问题，例如找到E矩阵的九个值？我已经阅读了关于这个主题的几个不同的讲义，但是他们都忽略了关键的最后一步。可能因为它被认为是微不足道的数学，但我不记得我上次这样做的时候，我还没有找到解决方案。

Answer 1

这个等式在几何算法中实际上很常见，实质上，你试图从等式 AXB = 0 <计算矩阵 X / EM> 即可。为了解决这个问题，你将方程式矢量化，这意味着，

vec（）表示矩阵的矢量化形式，即，简单地将矩阵的颜色堆叠在另一个上以产生单个颜色矢量。如果你不知道可怕的符号的含义，它叫做Kronecker产品，你可以从here读取它，它很容易，相信我： - ）

现在，假设我将 B ^ T 的Kronecker产品和 A 所获得的矩阵称为<强> C 即可。 然后， vec（X） 是矩阵 C 的空向量，获取它的方法是执行 C ^ TC 的<{3}} （C转置乘以C）并取矩阵的最后一个 V 即可。最后一个颜色只是你的 vec（X） 。将X重构为3乘3矩阵。这是你必不可少的矩阵。

如果你发现这个数学太令人生畏的代码，只需使用Y.Ma et.al的以下代码：

%  p are homogenius coordinates of the first image of size 3 by n
%  q are homogenius coordinates of the second image of size 3 by n

function [E]  = essentialDiscrete(p,q)

n = size(p);
NPOINTS = n(2);

% set up matrix A such that A*[v1,v2,v3,s1,s2,s3,s4,s5,s6]' = 0
A = zeros(NPOINTS, 9);

if NPOINTS < 9
     error('Too few mesurements')
     return;
end

for i = 1:NPOINTS
  A(i,:) = kron(p(:,i),q(:,i))';
end
r = rank(A);

if r < 8 
  warning('Measurement matrix rank defficient')
  T0 = 0; R = [];
end;

[U,S,V] = svd(A);

% pick the eigenvector corresponding to the smallest eigenvalue
e = V(:,9);
e = (round(1.0e+10*e))*(1.0e-10);
% essential matrix 
E = reshape(e, 3, 3);

Answer 2

你可以做几件事：

• 可以使用8-point algorithm估算基本矩阵，您可以自己实现。
• 您可以使用计算机视觉系统工具箱中的estimateFundamentalMatrix功能，然后从基础矩阵中获取基本矩阵。
• 或者，您可以使用计算机视觉系统工具箱中的estimateCameraParameters功能校准立体摄像系统，该功能将为您计算基本矩阵。