Question

给出

1）1xn向量a，

2）nx1向量b，

3）nxn矩阵X，

问题是获得可以计算产品的迭代方法

a*{X*{X*{X*X}*X}*X}*b

尽可能快，其中括号{Y}是一个用户定义的运算符，它返回一个矩阵，其所有对角元素都为零，其非对角元素等于矩阵Y的元素

注意：

如果没有括号{}运算符，如果想要计算乘积a*X*X*X*X*X*X*b，我认为我们可以自然地将矩阵乘法运算符*关联如下：

(((a*X)*X)*X)*(X*(X*(X*b)))

因此总时间复杂度为O(n^2)。但是，当谈到

的计算时

a*{X*{X*{X*X}*X}*X}*b

我不知道如何更改*的关联类型。如果有人能给我一些提示，以显示在a*{X*{X*{X*X}*X}*X}*b而不是O(n^2)的同一时间内迭代计算O(n^3)的可能性，我将不胜感激。

Answer 1

我怀疑今天我们将通过以下减少提出o(matrix-multiplication(n)) - 时间算法。但是，可以将空间使用量设置为线性。

让{Y} = Y - diag(Y)。我将考虑更简单的计算a*{X*{X*X}*X}*b'问题。使用diag的线性，我们写

{X*{X*X}*X} = {X*(X*X - diag(X*X))*X}
            = X*(X*X - diag(X*X))*X - diag(X*(X*X - diag(X*X))*X)
            = X*X*X*X - X*diag(X*X)*X - diag(X*X*X*X - X*diag(X*X)*X)
            = X*X*X*X - X*diag(X*X)*X - diag(X*X*X*X) + diag(X*diag(X*X)*X).

现在依次考虑每个术语。第一项a*X*X*X*X*b' = ((a*X)*X)*(X*(X*b'))可通过O(n^2)运算来计算。第二个术语a*X*diag(X*X)*X*b' = (a*X)*diag(X*X)*(X*b')也是如此。第四个术语也是a*diag(X*diag(X*X)*X)*b'。

有问题的术语是第三个，a*diag(X*X*X*X)*b'。由于其他三个可以使用O(n^2)运算来计算，因此它在某种意义上与整个计算相同。

让j成为全1矢量。然后是j*diag(X*X*X*X)*j' = tr(X^4)。如果X是图的邻接矩阵，则tr(X^4)是（可能是简并的）4个循环的数量。假设无向简单图，简并4周期的数量由度序列的简单函数给出。 state of the art in cycle counting似乎并不比矩阵乘法更好。

快速计算以下产品的方法

1 个答案: