快速计算斐波那契数的方法

Question

如果我将使用以下方法计算斐波纳契数，它将比线性方法更快：

我是对的吗？

该方法来自here。

Answer 1

公式：

使用exponentiation by squaring，您将获得O(log(n))次乘法以查找第n个斐波纳契数。但在这种情况下乘法并不是一个简单的操作，实际时间复杂度为O(M(n)*log(n))，其中M(n)是两个数字乘以长度O(n)的复杂性。

计算Fibonacci数的算法中有benchmark个算法，包括矩阵逼近和天真乘法以及Karatsuba乘法。

Answer 2

还有一个直接公式 - 斐波那契数列是线性递归关系，并且第n个元素有一个已知的精确公式。公式是：

其中phi是golden ratio，而psi是它的反转。

与矩阵方法一样，这可以在O(log(n))次乘法中计算。 phi是浮点数的缺点，因此你可能会因为大数字的舍入而出错。

P.S。我碰巧写了a blog post on the problem。您还可以查看wikipedia has to say about it。