知道k-最近邻居的快速计算Voronoi图的方法

Question

我知道从Voronoi镶嵌中计算k近邻的集合相对容易。反向问题怎么样？ 我已经有了一组k近邻（在3D中），我想计算Voronoi单元的体积和中心。直觉上，应该有一个O（n）算法来做，对吗？

有人在某处看到过这样的事情吗？

提前致谢

PS：我假设没有Voronoi单元具有多于k个边缘（这些关于点位置的先验知识可能使得在O（n）中计算图表成为可能，而与维度无关）。

PPS：我进一步假设对于给定的点，Voronoi单元的顶点属于kNN集（参见下面的注释）。

Answer 1

您可以按如下方式构建VD。点P和它的k个最近邻居Q之一定义了与P和Q等距的半平面H（P，Q），以及具有边界H并且包含P的半空间H +（P，Q）。然后Voronoi P的单元是P的k个最近邻居中所有Q的H +（P，Q）的交点。 构建此交集与顶点枚举问题密切相关：http://en.wikipedia.org/wiki/Vertex_enumeration_problem

您需要有足够的邻居才能确保构建正确的VD并且我不确定您的假设是否可以保证。唯一可靠的是，P点的真实Voronoi单元格包含在上述算法构造的单元格中。

Answer 2

虽然应该有一个直观的算法，但我认为实际上没有。虽然我没有正式的证据（并且无法快速提高），但请考虑以下论点：

考虑点P的k个最近相邻点K全部到P的一侧的情况，即存在穿过P的平面，使得K中的所有点都在平面的一侧。然后，不能以任何方式从K中的点计算P的Voronoi单元的边界。该参数适用于任何k，并且我无法看到算法如何检测任何点的存在P的另一边是最近邻分析。因此，我认为Voronoi图包含的信息比k-最近邻域统计量更多，因此从Voronoi到kNN的转换是不可逆转的减少。

另一方面，Hugo Ledoux has developed用于Voronoization的n log n平均案例算法，您可以考虑使用该解决方案。

编辑：我的论点可能仍然太复杂了。关于kNN的简单思考：考虑一组k点，它们是彼此的kNN。这些点的kNN子图与所有其他点断开连接，使得构造Voronoi图不可能。或者，换句话说，Voronoi图包含任何 k的k-最近邻，因此不能从任何有限k重建。