Question

我正在考虑一种解决以下问题的算法：

由顶点和边组成的给定图形。

有N个客户想要从顶点行进到另一个顶点。   每个客户需求都需要一个有向边来连接两个顶点。

问题是如何找到满足所有客户要求的最小边数？

有一个简单的例子：

客户1想要从顶点a行进到顶点b。
客户2想要从顶点b行进到顶点c。
客户3想要从顶点a行进到顶点c。

最简单的方法是为每位客户提供优势：

边缘1：顶点a - ＆gt; vertex b
边缘2：顶点b - ＆gt; vertex c
边缘3：顶点a - ＆gt; vertex c

但实际上只需要2个边缘（即边缘1和边缘2）来满足三个客户要求。

如果客户数量很大，如何找到最小边缘以满足所有客户要求？

有没有算法来解决这个问题？

Answer 1

您可以将问题建模为混合整数程序。您可以为＆＃34; arc a-＆gt;定义二进制变量。 b用于＆＃34;和＆＃34;客户c使用arc a - ＆gt; B＆＃34;并将要求记为线性不等式。如果您的图形不是太大，您可以通过混合整数程序求解器（CPLEX，GUROBI，但在网络上也有免费的替代方案）在合理的时间内解决此类模型。

我知道如果您不熟悉线性编程，这个解决方案需要一些工作，但它保证在有限时间内找到最佳解决方案，您可以为（例如）1000个客户和1000个弧解决它。

Answer 2

如果您有N个顶点，则始终可以构造具有N（有向）边的解。只需创建一个有向循环V_1 - ＆gt; V_2 - ＆gt; V_3 - ＆gt; ... - ＆gt; V_N - ＆gt; V_1。你永远不会有从每个顶点V_a到具有较少边缘的每个其他顶点V_b的定向路径（因为你有一个必须包含叶子的有向树）。叶子是不可达的（如果边缘从叶子出来）或叶子是一个接收器（不能连接到其他任何东西）如果边缘是 - ＆gt;叶子。

Answer 3

无需使用任何新算法。您可以使用BFS / DFS算法。

Find if there exists any path between source and destination.
   if !true
      add a direct edge between source and destination
      count++;
return count;

这里的关键部分是循环遍历图形，而不是循环通过新添加的边。

Answer 4

您可以使用Disjoint set data structure。

https://en.wikipedia.org/wiki/Disjoint-set_data_structure

while (num_edges--)
    if root(vertex_a) != root(vertex_b)
    count++
    union(vertex_a,vertex_B)

Answer 5

如果我想到无向边的相同问题，我们要寻找的是原始图的minimum spanning tree（MST）（由所有边构成）。简要说明是，对于每个边E（v1 - > v2），如果存在从v1到v2的第二条路径，则存在一个循环，并且对于每个现有循环，存在我们可以省略的边。

要查找有向图的MST，您可以使用Chu–Liu/Edmonds' algorithm。

请注意，您要为所有边缘指定权重1。

如何找到最小化边数的方法？

5 个答案: