求图算法：如何使图表满意？

Question

背景

如下所示，图的左侧有一个无向图。顶点由S1，S2 ... S6表示，边缘由顶点之间的线段表示。每条边都有一个重量（边缘附近的数字），无论是正数还是负数。

解释

在图中，如果一个简单的循环具有奇数个负边，则称为冲突循环，如果是负边的偶数（或零），则称为一致循环。例如，在下图的左侧，图形具有两个冲突的循环（S1-S2-S3-S1和S2-S3-S4-S2），并且其他循环是一致的。如果图表没有冲突周期，则称为快乐。

目的：

通过去除一些边缘使图形快乐，同时确保成本（去除边缘的权重的绝对值之和）最低。在下图中，例如，在移除边缘（红线段）后，没有冲突的周期。因此图表变得快乐，成本仅为2。

Answer 1

通过从最大切割减少这个问题是NP难的。给定最大切割的实例，将所有边缘权重乘以-1。这个问题的约束要求去除边缘以消除所有奇数周期，即我们需要找到最大权重的二分子图。

这个问题实际上相当于2标签独特的标签封面问题。目标是将每个顶点着色为黑色或白色，以便最小化（i）连接不同颜色的顶点的正边缘（ii）连接相同颜色的顶点的负边缘的成本之和。删除所有这些边是原始问题的有效解决方案。相反，给定一组有效的删除边，我们可以确定着色。我希望有一种基于半定规划的近似算法（并且松弛可以用于分支和边界）。

但是，除非您熟悉组合优化，否则我建议的算法是整数编程。如果我们删除边x(e)，则e为1，如果不删除，则x(e)为0。

minimize sum_{edges e} cost(e) x(e)
subject to
for every simple cycle C with an odd number of negative edges,
    sum_{edges e in C} x(e) >= 1
for each edge e, x(e) in {0, 1}

解算器将完成大部分工作。问题是处理我编写的指数数量的约束。最原始的事情是生成所有简单的循环，并为求解器提供整个程序。另一种可能性是利用约束的子集来求解最优性，测试解是否实际上是有效的，并且如果不是，则引入一个或多个缺失约束。要进行测试，尝试对未删除的子图进行双色处理，使得由正边连接的顶点具有相同的颜色，并且由负边连接的顶点具有不同的颜色。颜色贪婪;如果我们陷入困境，那么就会出现一个奇怪的周期。

通过更加复杂，可以通过名为column generation的技术解决该程序。

Answer 2

我为这个问题编写了一个solver（名称为＆＃34;签名图平衡＆＃34;）。它基于固定参数算法，如果只需要删除少量边缘，则该算法很快。该方法在论文＆＃34; Separator-based data reduction for signed graph balancing＆＃34;。

中有所描述