Question

我给了三个二进制随机变量：X，Y和Z.我还给出了以下内容：

P(Z | X)

P(Z | Y)

P(X)

P(Y)

然后我应该确定是否可以找到P(Z | Y, X)。我试过以贝叶斯定理的形式重写解决方案并且无处可去。鉴于这些是布尔随机变量，是否可以根据布尔代数重写系统？我知道条件可以映射到布尔含义（x -> y或!x + y），但我不确定这将如何转换为我试图解决的整体问题。

（是的，这是一个家庭作业问题，但在这里我对如何正式解决这个问题比对解决方案更感兴趣...我还认为这个问题对MathOverflow来说太简单了）

Answer 1

我敢打赌，有人做得更优雅，但是......

在这种情况下，不，不可能确定P（Z | Y，X）。总的来说，我认为可以从一组独立的“原子”概率开始，并在我们添加约束时消除它们。例如，看X和Y，我们从四个概率开始：

P( X,  Y) = a
P( X, ~Y) = b
P(~X,  Y) = c
P(~X, ~Y) = d

现在我们添加probs必须加起来的约束1.我们可以消除一个变量，任何变量，比如d：

P( X,  Y) = a
P( X, ~Y) = b
P(~X,  Y) = c
P(~X, ~Y) = 1-a-b-c

现在假设我们也知道P（X）= K：

P( X,  Y) = a
P( X, ~Y) = K-a
P(~X,  Y) = c
P(~X, ~Y) = 1-K-c

等等。在陈述的问题中，我们可以消除原来的八个概率中的五个，但后来我们要求两个仍然是独立的比率。