在图表中，找到具有特定属性的最长路径？

Question

我有一个有向图（更具体地说，一个控制流图），每个顶点都有一组属性。

我想找到（或写入）一个算法，在给定具有属性V的顶点P的情况下，找到到某个顶点E的最长路径，这样<从all到V的{​​{1}}个可能路径中的em>所有顶点包含属性E。

示例1

说我有以下图表。 （请原谅糟糕的ascii绘图。）

P

从 +----+ +--------+P +--------+ | +----+ | | V1 | | | | | +--v--+ | +----+P ++ | | +-----++ +--v--+ | | +----+P | | | | +-----+ +--v--+ +--v--+ | |P +-+ +-+P | | +-----+ | | +-----+ | | | | | | | +v-v--+ | V6 |P +---------+ | +-----+ | | | | | | | | | | +-v--v-+ V7 |P | +---+--+ | | +---v--+ V8 |!P | +------+ 开始，V1始终在所有可能路径上保留的最长路径为P - ＆gt; V1。请注意其他路径，例如V7 - ＆gt; V1，＆＃34;有效＆＃34;因为V6总是成立，但是P - ＆gt; V1是最长的。

示例2

此示例与上述内容相同，但现在V7未在P中保留：

V3

在这种情况下，从 +----+ +--------+P +--------+ | +----+ | | V1 | | | | | +--v--+ | +----+P ++ | | +-----++ +--v--+ | | +----+!P | V3 | | | +-----+ +--v--+ +--v--+ | |P +-+ +-+P | | +-----+ | | +-----+ | | | | | | | +v-v--+ | V6 |P +---------+ | +-----+ | | | | | | | | | | +-v--v-+ V7 |P | +---+--+ | | +---v--+ V8 |!P | +------+ 开始，V1始终在所有可能路径中保留的最长路径为P - ＆gt; V1。路径V6 - ＆gt; V1无效，因为V7与V1之间存在V7不存在的路径。

关于我的情况的进一步说明

• 图表可能是循环的。
• 图表将是＆＃34;中小型＆＃34;大小，可能有1000个顶点或更少。
• 图表不一定总是有一个根和一个叶子，就像上面的例子一样。

问题

是否有用于计算此类路径的标准算法？

Answer 1

问题没有已知的有效解决方案，因为它很容易从Hamiltonian Path Problem缩小，它说 - 给定图表 - 是否有一条路径通过所有顶点一次？

减少很简单 - 给定哈密顿路径问题，用p标记所有节点，并找到最长路径。由于哈密顿路径是NP-Complete，这个问题也是如此，并且没有已知的多项式解。

另一种方法是使用brute-force search（最简单的形式是生成所有排列并选择最有效的排列） - 但对于大型图形而言，这将变得不可能。您可能还需要考虑使用启发式方法（找到“好”解决方案，但不是最优解决方案），如遗传算法。
另一种可能的解决方案是将问题减少到Traveling Salesman Problem，并使用一些现有的TSP求解器。请注意，虽然这个问题也是NP难的，但由于它经过深入研究，因此对于中等大小的图形有一些非常有效的解决方案。

另外，如果你的图形恰好是“特殊的”（例如DAG），你可以利用一些智能技术来实现多项式时间的显着加速，如动态编程。