Question

多年来，在使用算法之后，我遇到了一个关于算法的渐近行为的问题。

在数学中，人们可以将Big-W（hatever）定义为“根据输入大小'n'测量的f（n）的渐近行为。”我想到的Big-O的定义是（释义）：

In order for f(n) to be O(g(n)) we need to find a constant that multiplied by g(n) the expression 'f(n) < c*g(n)' from an initial input (i.e. n0) and forever.

正如我们所看到的，一切都是根据'n'（输入）来衡量的。

我的问题是，如果算法的输入大小是一个矩阵（本身已经是平方），是否意味着如果我使用两个嵌套的'for'循环遍历它，该算法仍然表现为O（ n）算法？。

示例：

1 1 1 1 0 1
2 2 0 2 1 0
3 3 1 3 2 1
0 4 2 4 3 2
1 5 3 5 4 0
2 6 0 6 5 1

for(var row=0; row<matrix.rows; row++){
    ...
    for(var col=0; col<matrix.columns; col++){
        ...
    }
}

我的逻辑告诉我这是一个O（n ^ 2），但数学是非常具体的，行为是根据输入大小来衡量的。所以如果这是O（n ^ 2）就好了。但让我感到困惑的是，如果我们从不同的角度来看这个问题，它会让我感到困惑：如果我只是遍历行，现在看起来算法的输入是cols * rows（矩阵）和因为我只遍历行，所以可以说它表现为O（log（n））。

有人可以解释一下这样的工作吗？它是O（n）还是O（n ^ 2）？对于不同尺寸（即立方体等）是否相同？

P.S。我希望我能正确解释自己。

Answer 1

我不是真正的专家，但据我所知，这是一个O（n）算法，如果这是你的输入。

您的输入中只有n ^ 2个元素，并且您只处理每个元素一次。

在决定输入大小时应该小心，以找出算法的复杂性。我会给你一个更微妙的例子。

要求您查明给定号码是否＆＃39; n＆＃39;是否是素数。你编写一个天真的算法来检查从1到n-1的可分性。现在，您可以争辩说您只进行了n次操作，因此它是一种O（n）算法。但实际上，这种算法是指数级的。原因是，这里输入的大小不是＆＃39; n＆＃39;，而是由log n位表示的单个值。所以，你输入的大小是log n。现在，您正在执行n次操作。因此，算法的操作数和输入大小之间的关系是指数的（因为n = 2 ^（log n））。

这里的区别思想是你的意思是一个操作（因为你想要计算每个输入值的操作数）。您总是可以争辩说您输入的只是一个矩阵，您希望将其视为单个元素，因此您的算法是O（1）。然而，这种情况并非如此。复杂性上下文中操作的定义表明，每次在输入单元上执行操作时，它应该在恒定时间内发生。但是，您不能声称矩阵操作是在恒定时间内发生的，因为您所谓的一个元素（矩阵）具有可变大小，并且乘法可以在很大程度上变化而没有边界。将此与整数乘法相比较，计算机具有用于乘法的专用硬件，并且在整数乘法所需的时间上限上有保证（达到一定的容差），这不是整数值的函数。

以矩阵作为输入的算法的大O表示法

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