计算嵌套for循环的时间复杂度

Question

对于这个问题A部分，我知道Big-O是n ^ 2，因为外部循环最多可以运行（n-1）次，并且每个内部循环最多可以运行（n（n + 1）） ）/ 2 = n ^ 2/2 + n / 2，由于我们正在计算Big-O，我们只取较高的界限，因此，我们有（n * n）= O（n ^ 2）。

但是对于B部分，我知道数组是A [1 ..... n] = {1,1,4,7,10，...，3（n-2）+1}，并且< / p>

据我所知，外循环至少有（n-1）次迭代，内循环至少有（n / 2）次迭代。所以我们有（n * n / 2）=（cn ^ 2）=（n ^ 2），这是正确的吗？

根据答题纸，至少有n ^ 2/4次迭代，这是Big-Omega（n ^ 2），我只是不明白他们如何到达n ^ 2/4而不是n ^ 2/2，有人可以详细解释如何做B部分，谢谢。

Answer 1

你是正确的最好的情况bizzare（）程序的时间复杂度是Big-Omega（n ^ 2/2），假设内部循环被执行所有i。

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这样看：

Let n = A.size(), 
so for the first time when i=2 the inner loop will run atleast once,
when i=2, the inner loop will run atleast twice
when i=3, inner loop runs atleast thrice and so on 

因此总的最佳案例复杂度实际上是Big-Omega（前n-1个自然数之和）= Big-Omega（n *（n-1）/ 2）= Big-Omega（n ^ 2）。另外，请注意Big-Omega（n ^ 2/2）= Big-Omega（n ^ 2/4）。如果取内环的平均值*内环的平均值，平均给出n ^ 2/4次迭代，假设数据的分布是均匀的，这意味着一半将进入if块，一半将进入else块。常数确实无关紧要。