Question

我的问题如下：使用scipy.linalg.eig获取特征向量和特征值我看到我的所有特征值都具有多重性1但是当我运行下面的代码时它并不确认特征向量是正交的，因为它们应该是在这种情况下。这会是什么原因？或者如何解决它？

import scipy as SP
import numpy as NP
from scipy import linalg
from numpy import linspace,asscalar,argsort
import cmath
import time

matA=SP.array([[-0.0001, 0., 0., 0.00001, 0., 0., 0.00002, 0.],[0., -0.0002, 0., 
  0., 0., 0., 0., 0.],[0., 0., -0.00015, 0., 0., -9.*10**-6, 
  0., -0.00005],[0.00001, 0., 0., -0.0001, 0., 0.00001, 1.*10**-6, 
  0.],[0., 0., 0., -5.*10**-6, -0.0001, 0., 0., 0.],[0., -9.*10**-6, 
  0., 0.00001, 0., -0.0002, 0., 0.00005],[0., 0., 0., 0.00002, 0., 
  0., -0.0001, 0.],[0., 0.00004, 0., 0., 0., 0.00005, 0., -0.00015]])

matB=SP.array([[0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],[0., 0., 1.5*10**-10, 0., 0., 0., 
  0., 0.],[0., -1.5*10**-10, 0., 0., 0., 0., 0., 0.],[0., 0., 0., 0.,
   0., 0., 0., 0.],[0., 0., 0., 0., 0., 3.*10**-10, 0., 0.],[0., 0., 
  0., 0., -3.*10**-10, 0., 2.*10**-10, 0.],[0., 0., 0., 0., 
  0., -2.*10**-10, 0., 0.],[0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.]])

matdim=len(matB[0])

#coefficient matrix for original ODE
def matM(x):
    return matA+(x**2)*matB

#define sorted eigensystem function
def eigsys(x):
    evs,EVS=linalg.eig(matM(x),check_finite=False)
    absevs=abs(evs)
    idx=argsort(absevs)[::-1]
    evs=evs[idx]
    EVS=EVS[:,idx]
    return (evs,EVS)

#check for orthogonality
eigvecs=SP.transpose(eigsys(60000)[1])
for j in range(8):
    for i in range(8):
        print SP.vdot(eigvecs[i],eigvecs[j])

#show eigenvalues all have multiplicity 1
print eigsys(60000)[0]

Answer 1

他们为什么要正交？你的矩阵

a=matM(60000)

远非对称，

abs(a-a.T).max() -> 2.16

带

abs(a).max() -> 1.08

所以我不一定期望正交特征向量。函数matM或数据matA或matB是否可能错误？

Answer 2

与许多其他引用的一样，不同的特征值不能保证特征向量是正交的。

但是我们有2种特殊类型的矩阵 对称矩阵和厄米矩阵。

这里保证特征值是真实的，并且存在一组正交的特征向量（即使特征值不是唯一的）。

在numpy中，

numpy.linalg.eig(any_matrix)

返回任何矩阵的特征值和特征向量（特征向量可能不正交）

并且我们具有内置功能来找到对称和Hermitian矩阵的正交特征向量。

eigen_values, eigen_vectors = numpy.linalg.eigh(symmetric_matrix)

注意： numpy.linalg.eigh仅考虑矩阵的上三角部分或下三角部分来计算特征值（对于这些特殊矩阵，一部分就像另一部分的镜像）。

因此，如果您传递既不是对称也不是Hermitian的矩阵来获取正交特征向量，它将使用该矩阵的下三角部分构造一个对称矩阵（实际上并不是为了我们的理解而构造的），并返回特征值和特征向量（它们是正交的！）。因此答案将是错误的！

有关更多详细信息，请参阅

来自numpy.eig的特征向量不是正交的

2 个答案: